3.6 Означення поля. Приклади полів

Означення 1. Непорожня множина , що містить не менше двох елементів, на якій визначені дві бінарні алгебраїчні операція + (додавання) і (множення), називається полем, якщо виконуються наступні умови (аксіоми поля):

1. операція + асоціативна на : ;

2. в множині існує нульовий елемент : ;

3. для кожного елемента існує протилежний елемент :

.

4. операція + комутативна на : .

5. операція асоціативна на : ;

6. операція дистрибутивна зліва і справа відносно операції+:

;

;

7. операція комутативна на : ;

8. в множині існує одиничний елемент :

9. для кожного ненульового елемента існує в обернений до нього елемент :

.

Запишемо означення поля, використовуючи означення кільця.

Означення 1′. Непорожня множина , що містить не менше двох елементів, на якій визначені дві бінарні алгебраїчні операція + (додавання) і (множення), називається полем, якщо виконуються наступні умови (аксіоми поля):

1) – комутативне кільце з одиницею 1;

2) для кожного ненульового елемента існує в обернений до нього елемент :

.

Отже, поле – це комутативне кільце з одиницею 1, в якому кожний елемент має обернений.

Група називається мультиплікативною групою поля.

Поле являє собою поєднання на одній і тій самій множині двох абелевих груп – адитивної групи і мультиплікативної , зв'язаних дистрибутивним законом (тепер вже одним, з-за комутативності).

Поле називається скінченним, якщо множина його елементів скінченна і нескінченним, якщо множина його елементів нескінченна.

Приклади.

1. Кільце раціональних чисел є полем. Кільце дійсних чисел є полем. Кільце комплексних чисел є полем. Ці числові поля є нескінченними.

2. Кільце класів лишків цілих чисел за модулем простого числа , де є прикладом скінченного поля і має широкі застосування в теорії чисел.

З властивостей алгебраїчної операції випливають наступні найпростіші властивості поля:

1) нульовий елемент єдиний;

2) протилежний до кожного елемента єдиний;

3) одиничний елемент єдиний;

4) обернений до кожного ненульового елемента єдиний.

Добуток записується зазвичай у вигляді дробу (або відношення, частки) (). Отже, дріб , що має зміст тільки при , є розв’язком рівняння . Дії з дробами підкоряються декільком правилам: , , , .

Це звичайні шкільні правила, але їх треба не запам'ятовувати, а виводити з аксіом поля. Подивимося, як це робиться для другого правила. Нехай і – розв’язок рівнянь і . З цього виходить: і , звідки звідки – єдиний розв’язок рівняння .

3.7. Підполе. Критерій підполя

Означення. Непорожня підмножина поля називається підполем поля , якщо є полем відносно алгебраїчних операцій, заданих в .

Приклади.

1. Кожне поле , очевидно, є підполем самого себе.

Всяке підполе поля , відмінне від самого поля, називається власним підполем цього поля.

2. Поле раціональних чисел є підполем поля дійсних чисел і поля комплексних чисел.

3. Поле дійсних чисел є підполем поля комплексних чисел.

Теорема (критерій підполя). Для того, щоб підмножина поля , яка містить не менше двох елементів, була підполем цього поля, необхідно і достатньо, щоб сума, різниця, добуток і частка будь-яких двох елементів підмножини містилися в .

Теорема (про переріз підполів). Переріз довільного числа підполів поля є його підполем.

Приклад. Поле раціональних чисел – підполе поля дійсних чисел R.

Приклад. Довести, що поле раціональних чисел не має підполів, відмінних від .

Доведення. Нехай – підполе поля . Тоді – поле, а значить, , , де – нуль, – одиниця поля . Звідси випливає, що , , і т.д., тобто .

Оскільки – адитивна група, то , , , і т.д. Тоді . Отже, .

Оскільки – поле, то для будь-якого елемента , , справедливо: .

Нехай тепер – довільний елемент поля . Тоді , . Оскільки , , то . Таким чином, . Враховуючи, що , отримуємо .

Означення. Поле комплексних чисел та всі його підполя називаються числовими полями.

Приклад. Довести, що будь-яке числове поле містить поле раціональних чисел.

Доведення. Нехай – довільне числове поле. Тоді – підполе поля комплексних чисел, значить , , . Повторюючи міркування попереднього прикладу, неважко показати, що .

У разі говорять також, що поле є розширенням свого підполя . З означення підполя виходить, що нуль і одиниця поля міститимуться також в і служать для нулем і одиницею. Якщо взяти в переріз всіх підполів, що містять, і деякий елемент , не належний , то буде мінімальним полем, що містить множину . Говорять, що розширення поля отримане приєднанням до елементу , і відображають цей факт в записі . Аналогічно можна говорити про підполе поля , отриманому приєднанням до елементів поля .

Приклад. Невелика перевірка показує, що збігається з множиною чисел , , оскільки і при . Те ж саме відноситься до , і т.д.

Приклад. Довести, що множина чисел вигляду , де – раціональні числа, відносно додавання і множення є полем.

Доведення. Оскільки множина є підмножиною поля комплексних чисел, то можна скористатися критерієм підполя.

Нехай , – два довільні елементи із . Тоді – раціональні числа, і отже,

,

оскільки , ;

оскільки , ;

,

оскільки , .

Нехай тепер . Тоді . Нехай

(1)

Оскільки – поле, , то елемент існує завжди, і .

Виконавши операцію множення в лівій частині рівності (1), отримуємо:

.

Отримана рівність еквівалентна системі лінійних алгебраїчних рівнянь:

Розв’язавши дану систему, будемо мати:

Оскільки , , , то

.

В силу критерію підполя, – підполе поля комплексних чисел, а отже, поле.