3.4. Факторкільце за двостороннім ідеалом

Нехай – двосторонній ідеал в кільці . Тоді – підгрупа адитивної групи кільця (оскільки група абелева, то навіть є нормальним дільником в ). Розкладемо на суміжні класи по ідеалу :

Суміжні класи по ідеалу називаються класами лишків за ідеалом (за модулем ) . Клас лишків за ідеалом з представником позначається для стислості через .

Теорема (про фактор-кільце). Множина всіх класів лишків кільця за ідеалом відносно операцій додавання і множення, визначених наступним чином:

;

,

є кільцем. Це кільце називається фактор-кільцем кільця за ідеалом (за модулем ) і позначається .

Приклад. Якщо , , то кільце класів лишків цілих чисел , де є прикладом скінченного кільця і має широкі застосування в теорії чисел. В кільці класів лишків звичайно оперують з фіксованою множиною представників за модулем . У позначеннях також відмовляються від рисочок і кружечків.

Наведемо найпростіші приклади кілець класів лишків, вказуючи таблиці додавання і множення.

+	0	1
0	0	1
1	1	0

	0	1
0	0	0
1	0	1

+	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	0
2	2	0	1

	0	1	2
0	0	0	0
1	0	1	2
2	0	2	1

3.5 Дільники нуля і дільники одиниці. Область цілісності

Означення. Дільниками нуля називаються елементи і кільця такі, що , , але ; при цьому називається лівим, а – правим дільником нуля. (У комутативних кільцях говорять просто про дільники нуля)

Сам нуль в кільці – тривіальний дільник нуля. Якщо інших дільників нуля немає, то називається кільцем без дільників нуля.

Означення. Дільником одиниці називається елемент кільця , який має обернений.

Твердження. Дільник нуля кільця не може бути дільником одиниці цього кільця.

Теорема. Множина всіх дільників одиниці кільця з одиницею є мультиплікативною групою.

Означення. Областю цілісності (цілісним кільцем, кільцем цілісності) називається комутативне кільце з одиницею без дільників нуля.

Приклад. Оскільки будь-яке числове кільце (кільце комплексних чисел і всі його підкільця) комутативне і не містить дільників нуля, то кожне числове кільце з одиницею є областю цілісності.

Справедлива наступна теорема

Теорема. Нетривіальне комутативне кільце з одиницею є цілісним тоді і тільки тоді, коли в ньому виконаний закон скорочення:

, для всіх .

Приклад. Нехай – область цілісності, елемент . Вираз вигляду

, в якому , називається многочленом над кільцем , символ називається змінною, елементи – коефіцієнтами, – степінь многочлена. Додавання і множення многочленів виконується за формулами:

, ;

, .

Відносно операцій додавання і множення многочлени над утворюють кільце, яке називається кільцем многочленів над і позначається .

Замінимо в означенні кільця аксіому (К2): – півгрупа на істотно сильнішу умову (К2') – група. Тоді отримаємо наступну алгебраїчну структуру:

Означення. Тілом (кільцем з діленням) називається кільце з одиницею, всі елементи якого, відмінні від одиниці, утворюють мультиплікативну групу.

Кільце з діленням, отже, завжди буде без дільників нуля, і кожен ненульовий елемент в ньому оборотний. Операції додавання і множення в комутативному кільці стають майже повністю симетричними. У математиці така структура носить спеціальну назву – поле.