- •Министерство образования российской федерации
- •Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права
- •И.Н. Мастяева о.Н. Семенихина
- •Численные методы
- •Учебное пособие
- •Москва 2004
- •Содержание:
- •1. Погрешность результата численного решения задачи
- •1.1. Источники и классификация погрешностей.
- •1.2. Точные и приближенные числа. Правила округления чисел
- •1.3. Математические характеристики точности приближенных чисел
- •1.4. Число верных знаков приближенного числа. Связь абсолютной и относительной погрешности с числом верных знаков. Правила подсчета числа верных знаков
- •5423,47 6 Значащих цифр,
- •0,0000605 3 Значащие цифры,
- •0,060500 5 Значащих цифр.
- •1.5. Общая формула теории погрешностей (погрешность вычисления значения функции)
- •1.6. Погрешность арифметических действий
- •1.7. Обратная задача теории погрешностей
- •2. Численные методы решения нелинейных уравнений
- •2.1. Отделение корней
- •2.2. Метод половинного деления
- •2.3. Метод хорд (секущих)
- •2.4. Метод касательных (метод Ньютона)
- •2.5. Метод итераций
- •3. Численные методы линейной алгебры
- •3.1. Метод Гаусса
- •З.2. Метод прогонки
- •3.3. Норма вектора и норма матрицы
- •3.4. Метод простой итерации
- •3.5. Частичная проблема собственных значений
- •Интерполирование.
- •4.1. Интерполяционный полином, его существование и единственность. Остаточный член.
- •4.2. Интерполяционный полином Лагранжа.
- •4.3. Разделенные разности и их свойства.
- •4.4. Интерполяционный полином Ньютона с разделенными разностями
- •4.5. Конечные разности и их свойства
- •4.6. Интерполяционные формулы Ньютона
- •4.7. Интерполяционные полиномы с центральными разностями
- •4.8.Обратное интерполирование
- •4.9. Численное дифференцирование
- •5. Интерполирование с кратными узлами и сплайны
- •5.1. Разделенные разности с повторяющимися (кратными) узлами
- •5.2. Интерполяционный полином Эрмита
- •5.3. Интерполирование сплайнами
- •6. Численное интегрирование
- •6.1. Формула прямоугольников
- •6.2. Формула трапеций
- •6.3. Формула Симпсона
- •6.4. Правило Рунге практической оценки погрешности квадратурных формул. Уточнение приближенного значения интеграла по Ричардсону
- •7. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- •7.1. Метод Рунге-Кутта
- •7.2. Разностный метод решения краевой задачи
- •Список литературы
7.2. Разностный метод решения краевой задачи
Рассмотрим краевую задачу для дифференциального уравнения второго порядка следующего вида:
(7.25)
(7.26)
зададим шаг , n – целое. Точки , примем за узлы сетки, – неизвестные значения искомого решения в узлах. Выразим производную в узлах сетки по формуле численного дифференцирования
.
Пусть
.
Вместо дифференциальной краевой задачи (7.25)-(7.26) будем иметь разностную краевую задачу
(7.27)
(7.28)
где yj – приближенное значение точного решения y(xj) в узлах .
Перепишем систему линейных алгебраических уравнений (7.27)-(7.28) в виде
.
Эта система с трех диагональной матрицей при на [0, H] имеет решение, причем единственное, которое может быть получено методом прогонки, при этом условие гарантирует устойчивость прогонки. Дадим оценку этому решению.
Лемма 1. Пусть и числа таковы, что . Тогда для всех j. Пусть . Предположим, что . Следовательно, . Пусть q – наименьшее целое, для которого . Из определения d и q имеем: .
Тогда
- противоречие с .
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Если , то для любой системы чисел zj выполняется неравенство
,
где .
Введем в рассмотрение функцию
Через обозначим
.
Очевидно, что .
Это многочлен второй степени. Для него конечная разность второго порядка , следовательно,
.
Отсюда следует, что
Очевидно, что
.
Числа удовлетворяют условиям леммы 1. Поэтому . Отсюда следует оценка
.
Имеем неравенство
.
Кроме того,
.
Поэтому имеем
.
Лемма 2 доказана.
Рассмотрим случай, когда функции P(x) и f(x) дважды непрерывно дифференцируемы. В курсе дифференциальных уравнений доказывается, что когда краевая задача (7.25)-(7.26) имеет единственное решение y(x), которое четырежды непрерывно дифференцируемо. Наша задача – оценить разность для . – это краевые условия.
Рассмотрим
Согласно дифференциальному уравнению (7.25) для любого j
Следовательно,
Левая часть этого равенства есть разность между приближенным значением второй производной в точке xj, полученным по формуле численного дифференцирования, и точным значением этой производной y(xj) и равна остаточному члену этой формулы
(7.29)
Согласно (7.27) имеем
. (7.30)
Вычтем (7.30) из (7.29)
т.е.
.
Воспользуемся леммой 2 для чисел . Имеем
.
Таким образом, при , т.е. неограниченном сгущении сетки, решение разностной задачи приближается к решению дифференциальной.
Разностный метод решения краевой задачи (7.25)-(7.26) используется также и при , хотя успешный результат заранее предвидеть трудно. Для оценки получаемого решения в этом случае нужно провести расчеты для различных значений шага h (не менее трех) и убедиться в том, что полученные значения функции в одних и тех же узлах близки между собой и их разность уменьшается, что говорит о стремлении решения к некоторому пределу при .
Список литературы
-
Бахвалов Н.С. Численные методы. –М: Наука, 1975.
-
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.
-
Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. – Т.1. – М.: Наука, 1966; - Т.2. – М.: Физматгиз, 1962.
-
Волков Е.А. Численные методы. – М.: Наука, 1987.
-
Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1970.
-
Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. численные методы анализа. – М: Наука, 1967.
-
Калиткин Н.Н., Численные методы. - М.: Наука, 1978.
-
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1968.
-
Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М: Наука, 1989.
-
Турчак Л.И. Основы численных методов. – М: Наука, 1987.
-
Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. вычислительные методы линейной алгебры. – М: Физматгиз, 1963.
-
Фихтенгольц Г.М. Математический анализ. –Т.1, 2. – М: Гостехиздат, 1957.
-
Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. – М: Мир, 1980.