6.2. Формула трапеций

Предположим, что . Разделим отрезок [a, b] на N равных частей, тогда

, (6.16)

где .

Заменим функцию f(x) на каждом из отрезков первой интерполяционной формулой Ньютона первой степени

(6.17)

Подставляя формулу (6.17) в правую часть (6.16), интегрируя и используя теорему о среднем значении интеграла, получим

(6.18)

В силу (6.10) получаем

(6.19)

Приближенное равенство

(6.20)

называется формулой трапеций. Величина

(6.21)

является остаточным членом формулы трапеций. Оценка остаточной погрешности формулы трапеций может быть записана в виде

. (6.22)

Формула трапеций, как и формула прямоугольников, является точной для любой линейной функции. Вычислительная погрешность формулы трапеций также равна

. (6.23)

Так как остаточные члены формул прямоугольников и трапеций (6.13) и (6.21) имеют противоположные знаки, формулы (6.12) и (6.20) дают двустороннее приближение для интеграла (6.1), т.е.

В таком случае можно принять, что

, (6.24)

тогда

, (6.25)

т.е. погрешность выражается через приближенные значения интегралов.

6.3. Формула Симпсона

Предположим, что . Разделим отрезок [a, b] на четное число равных частей N=2k, тогда

, (6.26)

где .

Заменим функцию f(x) на каждом отрезке длиной 2h интерполяционным полиномом Лагранжа второй степени и положим

. (6.27)

Возьмем интеграл в правой части (6.27). Получим:

(6.28)

Подставив (6.28) в (6.26), получим квадратурную формулу Симпсона

.

Остаточный член интерполяционного полинома Лагранжа второй степени, построенного на каждом отрезке , равный

,

обращается в нуль, если f(x) – полином второй степени. Следовательно, формула Симпсона является точной для полинома второй степени.

Докажем, что формула Симпсона является точной и для полинома третьей степени. Действительно, для f(x)=x³ имеем по формуле Симпсона

что равно точному значению этого интеграла, полученному по формуле Ньютона-Лейбница

.

Таким образом, формула Симпсона является точной для полинома второй степени и для функции f(x)=x³, а значит, и для произвольного полинома третьей степени.

Получим остаточный член формулы Симпсона. Для этого представим подынтегральную функцию f(x) на каждом отрезке интерполяционным полиномом Эрмита третьей степени с двукратным узлом :

(6.29)

Заменим первую сумму правой части (6.29) формулой Симпсона, которая дает точное значение каждого интеграла .

Вторую сумму преобразуем, интегрируя с помощью теоремы о среднем для определенного интеграла и применяя затем теорему о среднем значении непрерывной функции. Получим

Величина

является остаточным членом формулы Симпсона.

6.4. Правило Рунге практической оценки погрешности квадратурных формул. Уточнение приближенного значения интеграла по Ричардсону

Пусть функция и интеграл (6.1) вычисляется по формуле прямоугольников. Получим следующее соотношение:

, (6.30)

где с – постоянная, не зависящая от h.

Введем вспомогательную функцию

.

Очевидно, что

(6.31)

Разложим функцию F(x) в ряд Тейлора в окрестности точки .

(6.32)

С помощью (6.31) и (6.32) имеем

Вычитая из верхнего равенства нижнее, получим

(6.33)

откуда

(6.34)

На основании (6.11)

,

откуда

(6.35)

Подставим (6.35) в (6.34):

где не зависит от h. Соотношение (6.30) получено. Величина ch² называется главной частью погрешности формулы прямоугольников.

Если , то справедливо аналогичное соотношение и для формулы трапеций

, (6.36)

где

не зависит от h.

При условии можно получить аналогичное соотношение для формулы Симпсона

, (6.37)

где – не зависящая от h постоянная.

Обозначим через J_h приближенное значение интеграла (6.1), найденное по одной из трех формул: прямоугольников, трапеций, Симпсона, и объединим соотношения (6.30), (6.36), (6.37) в одно

, (6.38)

где с не зависит от h, k = 2 для формул прямоугольников и трапеций, k = 4 для формулы Симпсона. Предполагается, что . Запишем соотношение (6.38) для h₁ = 2h:

, (6.39)

вычтем из (6.39) (6.38) и получим

следовательно, с точностью до имеем

. (6.40)

Вычисление приближенной оценки погрешности квадратурной формулы по формуле (6.40) называется правилом Рунге.

Вычитая из умноженного на 2^k равенства (6.38) равенство (6.39), получим

, (6.41)

откуда

. (6.42)

Число называется уточненным по Ричардсону приближенным значением интеграла J.

Согласно (6.42)

.

Таким образом, с помощью приближенных значений интегралов J_h, J_2h, найденных по соответствующим квадратурным формулам с шагом h и 2h, можно, во-первых, оценить погрешность более точного значения интеграла J_h по правилу Рунге и, во-вторых, вычислить уточненное по Ричардсону приближенное значение интеграла , имеющее погрешность более высокого порядка относительно h, чем J_h.