Часть 2

Пример 12. Решить методом Гаусса систему уравнений:

Решение. Для того, чтобы решить систему линейных алгебраических уравнений, применим метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных с помощью элементарных преобразований.

1) Переставим второе уравнение с первым, чтобы коэффициент перед переменной х в первом уравнении системы был равен 1, получим:

2) Исключим переменную x из второго и третьего уравнений системы. Для этого умножим первое уравнение системы на (–2) и сложим со вторым уравнением; умножим первое уравнение на (–3) и сложим с третьим уравнением, получим систему в следующем виде:

3) Разделим второе уравнение на (–7), чтобы коэффициент перед переменной y во втором уравнении был равен 1:

4) Исключим переменную y из третьего уравнения системы. Для этого умножим второе уравнение на 5 и сложим с третьим уравнением:

5) Разделим третье уравнение на () и получим значение переменной z:

6) Подставим значение z=1 во второе уравнение системы и найдём значение переменной y:

7) Подставим значения z=1 и y=-1 в первое уравнение системы и получим:

Ответ: .

Пример 13. Даны векторы и . Определить, при каких и векторы и коллинеарны.

Решение. Векторы, заданные координатами, коллинеарны, если их координаты пропорциональны, т.е. .

Отсюда  = 4;  = 1. Ответ: =4; = 1.

Пример 14. Разложите вектор по векторам

Решение. Разложить вектор по векторам , - значит представить его в виде , где ; ; , , . Решив систему двух уравнений с двумя неизвестными, получим

Следовательно, . Ответ:

Пример 15. Даны векторы ={1; -2; 1} и ={-1; 1; -2}. Найдите косинус угла между векторами и .

Решение. Применяя линейные операции, найдём векторы и :

={}={5; -8; 7},

={}={-1; -1; -4}.

По формуле косинуса угла между векторами получаем:

Ответ: =.

Пример 16. Заданы координаты вершин треугольника АВС:

А(-1;2); В(-3;5); С(-7;0).Составить уравнение медианы и высоты треугольника, проведенных через вершину В.

Решение.

1. Медианой ВМ треугольника АВС является отрезок, соединяющий вершину В треугольника с серединой противоположной стороны М. Найдем координаты точки М как середины стороны АС: .

Составим уравнение медианы ВМ треугольника АВС как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: В(-3;5) и М(–4;1).

Уравнение прямой ВМ: .

2. Высотой ВК треугольника АВС является отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины В треугольника на противоположную сторону АС треугольника (или ее продолжение). При решении задачи используем тот факт, что вектор нормали прямой АС, является направляющим вектором искомой прямой. Найдем вектор нормали прямой АС.Составим уравнение прямой АС как уравнение прямой, походящей через две заданные точки А ( -1; 2) и С(-7; 0): . Вектором нормали к этой прямой АС является вектор . Далее составим уравнение прямой, проходящей чрез точку В(-3; 5) параллельно найденному вектору , используя условие коллинеарности векторов и :.

Ответ: 1.уравнение медианы треугольника ;

2: уравнение высоты треугольника .

Пример 17. Заданные уравнения 1) ;

2) ; 3)

привести к каноническому виду и построить кривые, координаты точек которых удовлетворяют этим уравнениям:

Решение

1). Для того чтобы уравнение привести к каноническому виду, сгруппируем переменные х и у и выделим полный квадрат в выражениях: и .

; ;

. Получили приведенное к каноническому виду уравнение окружности с центром в точке (-3; 2) и радиусом R = 3. (рис 1.)

Решение

2). Для того чтобы уравнение привести к каноническому виду, сгруппируем переменные х и у и выделим полный квадрат в выражении: .

Получили приведенное к каноническому виду уравнение эллипса

с центром в точке (-1;0) и полуосями а = 3; в = 1. (рис 2.)

Решение

3). Для того чтобы уравнение привести к каноническому виду, сгруппируем переменные х и у и выделим полный квадрат в выражениях: и .

Получили приведенное к каноническому виду уравнение гиперболы

с центром (-2;1) и полуосями а = 4; в = 3. (рис 3)

Рис.1

Рис.2

Рис.3

Пример 18.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(-3; 1; 2) перпендикулярно вектору , если Р(1; -3; -1).

Решение. Уравнение плоскости, п оходящей через точку перпендикулярно вектору имеет вид: п.

Найдем вектор .

Составим уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

. Раскроем скобки, приведем подобные члены и получим уравнение искомой плоскости .

Ответ: .

Пример 19.Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(2; -1; 3) параллельно вектору .

Решение.

Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору , имеет вид: .

Составим канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору .

Ответ: .

Пример 20.

Найти координаты точки пересечения прямой, заданной параметрически

с плоскостью .

Решение.

Координаты искомой точки удовлетворяют и уравнению прямой, и уравнению плоскости. Поэтому являются решением системы:

Решим эту систему относительно неизвестной .

Подставим из первых уравнений в последнее, получим:

. Решая это уравнение, найдем =1.

Затем найдем искомые координаты .

Ответ: .

Пример 21. Найти частные производные функции .

Решение.

Чтобы найти частную производную , надо продифферецировать функциюпо х, считая постоянной. Получим: .

Вычисляя , следует принять величину постоянной.

Получим: .

Ответ: ; .

Пример 22. Написать уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением : , в точке .

Решение.

Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением : , в точке имеет следующий вид:

.

Обозначив через левую часть уравнения, найдем частные производные и их значения в точке :

; , ;

; , .

Подставив частные производные и координаты точки в уравнение касательной плоскости, получим: . .

Ответ: .

Пример 23. Найти градиент функции в точке и его модуль.

Решение.

Вычислим частные производные функции в точке :

; ; .

Следовательно и .

Ответ: ; .

Пример 24.

Исследовать на экстремум функцию .

Решение.

Найдем частные производные первого порядка:

; .

Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума

( и ), найдем стационарные точки: ,

откуда , . Стационарная точка -.

Проверим выполнение достаточного условия экстремума.

Найдем значения частных производных второго порядка в точке :

; ; .

Тогда . достаточное условие экстремума выполняется. точка является точкой экстремума. Так как , то в этой точке функция принимает минимальное значение. Подставив координаты точки в , получим.

Ответ:..

Пример 25.

Фирма производит товар двух видов в количествах x и y. Функция полных издержек определена соотношением C(x, y)=2x²+6xy+5y²+120. Цены этих товаров на рынке равны P₁=68 и P₂ =110. Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль и найти эту прибыль.

Решение.

Функция прибыли имеет вид:

I(x; y)=P₁ x+P₂ y C(x;y)=68x+110y2x ²6xy5y²120.

Найдем максимум этой функции. Вычислим частные производные первого порядка: =684x6y; =1106x10y и приравняем их нулю. Решив систему, получим стационарную точку x=5, y=8.

Проверим выполнение достаточного условия экстремума.

A==4, B==6, C==10, D=4036>0, A<0. Следовательно, при объемах выпуска x=5, y=8 достигается максимальная прибыль, равная I(5, 8)=290.

Ответ: x=5, y=8, I_max=290.

Пример 26.

Фирма производит товар двух видов в количествах x и y. Функция полных издержек определена соотношением C(x, y)=2x+3y+100. Цены этих товаров на рынке равны P₁(x)=22x и P₂(y)=27y. Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль на множестве производственных возможностей, ограниченном издержками производства в объеме C₀=130. Найти эту прибыль.

Решение.

Ф

ункция прибыли имеет вид:

I(x, y)=P₁ x+P₂ y C(x, y)= =x(22 x)+y(27 y)2x3y100.

Надо найти максимум этой функции для неотрицательных x и y, удовлетворяющих условию C(x, y) C_0., т.е. в области, заданной неравенствами:

(На рис. эта область заштрихована).

1). Исследуем на экстремум функцию прибыли I(x, y).

Выделив полные квадраты по x и y , приведем функцию к виду: I(x, y)= (x10)² (y12)²+144. Максимальная прибыль без учета ограничения C(x, y) C₀ достигается в т. Е(10; 12) и равна 144. Полные издержки при таких объемах выпуска больше чем C₀ , поэтому точка E не принадлежит множеству производственных возможностей.

2). Исследуем функцию прибыли I(x, y) на экстремум на границе множества производственных возможностей. Для определения координат экстремальной точки составим функцию Лагранжа L ( x, y, λ )=I(x, y)+λ (C(x, y) C₀ ) и приравняем нулю ее

частные производные. Получим систему уравнений .

Решив систему, найдем экстремальную точку D(6; 6). Подставим координаты этой точки в функцию прибыли, и найдем максимальную прибыль

I(6, 6)= (610)²  (612)² + 144 = 92.

Максимум прибыли достигается на границе множества производственных возможностей в точке D. В этой точке линия уровня функции прибыли (окружность с центром в точке E ) касается изокосты C(x, y)=C₀ (отрезка АВ).

Ответ: I_max= I(6; 6) = 92.

Пример 27.1. Найти неопределенный интеграл .

Решение.

.

Пример 27.2. Найти неопределенный интеграл .

Решение.

.

Пример 27.3. Найти неопределенный интеграл .

Решение.

.

Пример 28.1. Найти неопределенный интеграл .

Решение. .

Пример 28.2. Найти неопределенный интеграл .

Решение.

.

Пример 29. Вычислите неопределенный интеграл .

Решение.

.

Пример 30. Вычислите определенный интеграл .

Решение.

.

Пример 31. Изобразите на плоскости область, ограниченную графиками функций и и найдите её площадь.

Решение. Построив графики указанных функций, определим, что парабола является верхней, а парабола – нижней границей области (на рисунке область заштрихована). Эти границы пересекаются при , и , поэтому область проецируется на отрезок . Следовательно, .

Ответ: кв. ед.

Пример 32. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 33. Исследовать ряд на сходимость.

Решение.

Проверим, выполнен или нет необходимый признак сходимости (если , то ряд расходится). Общий член ряда . . Необходимый признак сходимости () не выполняется, следовательно ряд расходится.

Ответ: расходится.

Пример 34.

Исследовать ряд на сходимость, используя признак Даламбера.

Решение.

Для определения сходимости надо найти .

; . , следовательно ряд сходится.

Ответ: сходится.

Пример 35. Решить уравнение .

Решение.

Это уравнение с разделяющимися переменными . Разделив обе части уравнения на , получим уравнение с разделенными переменными . Проинтегрируем обе части уравнения

.

Ответ: .

Пример 36. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее заданному начальному условию .

Решение. Заданное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем сначала его общее решение. Для этого разделим переменные . Разделим обе части уравнения на . Получим . Проинтегрируем обе части уравнения . Для нахождения частного решения подставим в общее решение заданное начальное условие , . Получим . Отсюда . Подставляя найденное в общее решение, получим , которое является частным решением заданного уравнения, удовлетворяющим начальному условию .

Ответ: .

Пример 37. Решить уравнение .

Решение. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение перового порядка. Решим его методом Бернулли, т.е. решение будем искать в виде произведения двух функций, где , - функции от . Найдем . Подставим эти и в заданное уравнение. Получим . Сгруппируем второе и третье слагаемые в левой части, вынеся за скобки: .

Выберем так, чтобы коэффициент при в уравнении (1) обратился в ноль, т.е. и найдем какое-нибудь отличное от нуля его частное решение. При найденном таким образом уравнение примет вид: . Тогда для нахождения решения необходимо решить систему двух дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

Сначала решаем первое уравнение системы . Разделим Переменные . Так как требуется найти какое-нибудь отличное от нуля частное решение, то предположим, что и проинтегрируем обе части: . Получим , откуда . Подставим найденное во второе уравнение системы. Получим . Отсюда . Интегрируя обе части последнего уравнения, получим , откуда . Подставляя найденные и в , получим общее решение заданного дифференциального уравнения .

Ответ: .

Пример 38. Решить уравнение .

Решение.

Это уравнение второго порядка вида . Его общее решение находится последовательным интегрированием два раза: ;.

Ответ: .

Пример 39.1. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям ; .

Решение.

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

1) Найдем сначала его общее решение. Для этого составим соответствующее ему характеристическое уравнение и найдем его корни , . Так как эти корни действительные и различные, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид , т.е. .

2) Для нахождения частного решения вычислим . Подставим в выражения для и заданные начальные условия. Получим систему .

Решив её, найдем ; . Подставляя найденные и в общее решение, получим частное решение .

Ответ: .

Пример 39.2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям ; .

Решение.

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

1) Найдем сначала его общее решение. Для этого составим соответствующее ему характеристическое уравнение и найдем его корни . Так как эти корни действительные и кратные, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид .

2) Для нахождения частного решения вычислим и подставим в выражения для и заданные начальные условия. Получим систему .

Подставляя найденные и в общее решение, получим частное решение .

Ответ: .

Пример 39.3. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям ; .

Решение.

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

1) Найдем сначала его общее решение. Для этого составим соответствующее ему характеристическое уравнение . Его корни комплексно сопряженные .

Для комплексно сопряженных корней вида

общее решение дифференциального уравнения имеет вид . Так как в нашем случае действительная часть , а мнимая , то

2) Для нахождения частного решения вычислим . Подставляя в выражения для и заданные начальные условия, получим систему .

Подставляя найденные и в общее решение, получим частное решение .

Ответ: .

Пример 40.1. Найти общее решение уравнения .

Решение.

Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью вида , где , .

1) Найдем сначала общее решение однородного уравнения , соответствующего заданному неоднородному. Для этого составим соответствующее ему характеристическое уравнение и найдем его корни . Так как они действительные и кратные, то общее решение однородного уравнения имеет вид .

2) Найдем какое-нибудь частное решение заданного неоднородного уравнения. Так как число не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде , где - некоторое число, которое необходимо найти. Для этого вычислим и . Подставим , и в заданное неоднородное уравнение и так как должно быть его решением, получим верное равенство . Разделив обе части уравнения на и приведя подобные, получим , т.е. .

3) Общее решение неоднородного уравнения имеет вид .

Ответ: .

Пример 40.2. Найти общее решение уравнения .

Решение.

Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью вида ,

, т.е. , .

1) Найдем сначала общее решение Однородного уравнения , соответствующего заданному неоднородному. Для этого составим соответствующее ему характеристическое уравнение и найдем его корни ; . Так как они действительные и различные, то общее решение однородного уравнения имеет вид .

2) Найдем какое-нибудь частное решение заданного неоднородного уравнения. Так как в его правой части стоит многочлен второго порядка и число не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде полного многочлена второго порядка, с неопределенными коэффициентами, т.е. в виде .

Для нахождения коэффициентов ; ; найдем и . Так как является решением неоднородного уравнения, то при подстановке и его производных и в заданное неоднородное уравнение получим верное равенство .

Приведя в левой части подобные члены и записав многочлен в стандартном виде, получим . Так как многочлены, стоящие в левой и правой частях тождественно равны, то приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях в левой и правой частях, получим систему для нахождения коэффициентов ; ; :

Подставив найденные коэффициенты,,, в

получим .

3) Общее решение неоднородного уравнения имеет вид .

Ответ: .