4. Метод осьової симетрії

Метод осьової симетрії розв'язування задач полягає в тому, що поряд з даними точками (фігурами) в розгляд вводять симетричні їм точки (фігури) відносно деякої прямої.

При застосуванні цього методу один з даних елементів або кілька з них замінюють елементом, симетричним даному відповідно деякої осі. За вісь симетрії приймають або дану пряму, або таку, яку легко побудувати.

Побудовану фігуру пристосовують до тих же умов, які накладені на дану фігуру, і, таким чином, розв’язування даної задачі зводиться до розв’язування нової задачі.

Проілюструємо можливості розв’язування задач методом осьової симетрії.

Задача 1. Усередині гострого кута взято точку М. Побудувати трикутник KLM, що має найменший периметр, а вершини K і L якого лежать на сторонах даного трикутника.

Аналіз. На точку М подіємо симетрією відносно прямих (ОВ) і (ОА). М'=, M"=. Тоді =, де . =, де L .

Отже, і дорівнює периметру ламаної , кінці та якої визначаються однозначно точкою М і сторонами кута АОВ. Ця величина є найменшою, якщо точки ,К, L, належать одній прямій.

План побудови.

1. =,

= .

2. К=

3. L=

4. ∆KLM.

Всі інші етапи розв’язування цієї задачі опустимо.

Задача 2. Дана пряма MN і дві точки A i B по один бік від неї. Знайти на прямій MN таку точку X, щоб відрізки AX і BX утворювали з цією прямою кути, один з яких вдвоє більше другого: .

Аналіз. Нехай точка Х- шукана, тобто . Подіємо симетрією відносно на одну з даних точок (наприклад, точку ): . Тоді. Нехай , між . Тоді бісектриса . Отже, точка - центр кола, вписанного в , яке можна побудувати. Провівши із точки дотичну до цього кола, точку одержимо як точку перетину її з даною прямою.

План побудови

1. .

2. .

3. дотична до.

4. .

Доведення. Очевидно, що , бо і є вертикальними. Промінь є бісектрисою , бо є центром кола, яке дотикається сторін цього кута. Отже . Оскільки , то , тому .

Задача 3. Дано гострий куті точки A i B всередині цього кута. Знайти на стороні таку точку, щоб , де і - точки перетину і з , був рівнобедрений: .

Аналіз. Позначимо . Для точки треба знайти другу умову, бо одна умова є: . Поділяємо на одну з даних даних точок, наприклад, на точку симетрією відносно : . Виразимо через .

рівнобедрений .

План побудови.

1.

2. .

3. ; .

4. .

Доведення. Потрібно довести, що- рівнобедрений. З п. 1. Тоді Отже, .

Дослідження. Задача має один розвязок.

Задача 4. Побудувати прямокутний трикутник за катетом і різницею двох сторін.

Аналіз. Нехай - шуканий, тобто , . Щоб побудувати на малюнку різницю гіпотенузи і катета, побудуємо симетричний відносно бісектриси кута . Т.. Тому . Побудова визначить дві вершини шуканого. Оскільки , то точка належить середньому перпендикуляру до.

План побудови.

1. .

2. - середина ; .

3.

4. .

Інші етапи розв’язування опускаємо.

Задачі для самостійного розв'язування

5. Дано три прямі , які попарно перетинаються. Як побудувати відрізок, перпендикулярний до прямої , се­редина якого лежить на прямій , а кінці на прямих і ?

6. Побудувати чотирикутник АВСВ за чотирма сто­ронами так, щоб промінь АС був бісектрисою кута А.

7. Побудувати АВС, знаючи [ВС] = а, [АС] = b і В - А = ( > ).

8. Населені пункти А і В розташовані по один бік від залізниці. В якому пункті цієї траси слід побудувати заліз­ничну станцію С так, щоб сума відстаней [АС] і [ВС] була найменшою?

9. На прямій АВ знайти точку X так, щоб дотичні, проведені з неї до двох даних кіл, утворили з прямою АВ рівні кути.

10. Побудувати ромб з даною діагоналлю, яка лежала б на даній прямій так, щоб інші дві вершини ромба були розміщені на двох даних колах.

11. Через дані точки А і В провести дві прямі так, щоб кут між ними ділився даною прямою навпіл.

12. Побудувати чотирикутник АВСD, знаючи [АВ] = а, [АD] =b, B=D, якщо відомо, що в нього можна вписати коло.

13. Побудувати квадрат, дві протилежні вершини якого лежали б на даній прямій, а дві інші - на даних колах.

14. Побудувати квадрат так, щоб дві протилежні вер­шини його лежали на даній прямій a, а дві інші - на сто­ронах даного АВС.