2. Выбор по упрощенной модели бокового движения самолета коэффициентов обратных связей к11 иК12 в канале управления рулем направления

Рассмотрим изолированно канал рулей направления. В этом случае будем работать с упрощенной математической моделью:

Вычисление z-передаточных функций для заданного периода Т₀. Динамикой привода пренебрегаем

-составим уравнения упрощенной системы, исключив ω_х и δ_э из системы

Aupr=[-0.37 -2.58;1 -0.13];

Bupr=[-1.3;-0.02];

Cupr=eye(2);

Dupr=zeros(2,1);

Supr=ss(Aupr,Bupr,Cupr,Dupr)

SDupr=c2d(Supr,1/12,'zoh')- дискретное описание объекта

a =

x1 x2

x1 0.9609 -0.2099

x2 0.08137 0.9804

b =

u1

x1 -0.1062

x2 -0.006098

c =

x1 x2

y1 1 0

y2 0 1

d =

u1

y1 0

y2 0

Sampling time: 0.083333

Discrete-time model.

-Получим Z-передаточные функции по ω_н и β

>> WDupr=tf(SDupr)

-0.1062 z + 0.1054

#1: ---------------------- - по ω_у

z^2 - 1.941 z + 0.9592

-0.006098 z - 0.002781

#2: ---------------------- - по β

z^2 - 1.941 z + 0.9592

Sampling time: 0.083333

Составим характеристическое уравнение дискретной системы в канале рулей направления

syms z K11 K12

Kupr=[K11 K12]

A1upr=SDupr.A+SDupr.B*Kupr

p1upr=poly(A1upr)

p1z=poly2sym(p1upr,z)

subs(p1z)

h=vpa(collect(p1z),4)

h =

z^2+(-1.941+.1062*K11+.6098e-2*K12)*z+.2781e-2*K12-.1054*K11+.9592

-Построение области устойчивости цифровой системы в плоскости двух параметров K11 и К12

Перейдем из Z-области в w-область

syms w

z=(1+w)/(1-w)

WDz=z^2+(-1.941+.1062*K11+.6098e-2*K12)*z+.2781e-2*K12-.1054*K11+.9592

a11=expand((1+w)^2);

a12=expand((-1.941+.1062*K11+.6098e-2*K12)*(1+w)*(1-w));

a13=expand((.2781e-2*K12-.1054*K11+.9592)*(1-w)^2);

a14=a11+a12+a13

collect(a14,w)

vpa(collect(a14,w),3)

ans =

(3.90-.332e-2*K12-.212*K11)*w^2+(.211*K11+.816e-1-.556e-2*K12)*w+.182e-1+.888e-2*K12+.800e-3*K11

Уравнения границ области устойчивости

K11=-50:.5:50;

K121=((3.90-.212*K11)/.332e-2);

K122=((.211*K11+.816e-1)/.556e-2);

K120=((.800e-3*K11+.182e-1)/-.888e-2);

plot(K11,K121,'r',K11,K122,'b',K11,K120,'g');

grid;zoom yon;xlabel('K11');ylabel('K12');

Рис.6 Область устойчивости цифровой системы в плоскости параметров К11 и К12

Найдем коэффициенты к11 и к12

Найдем коэффициенты эталонного разностного уравнения

Выберем Ω₀=5, ξ=0.707. Тогда корни уравнения s²+2ξΩ₀ s+Ω² будут равны s1=-3.535-3.536i и

s2=-3.535+3.536i

Вычислим корни стандартного разностного уравнения:

Z_i=e^siT0 z1=0.508-0.298i, z2=0.508+0.298i

Уравнение примет вид:

(z-0.508+0.298i )(z- 0.508-0.298i)=z²-1.016z+0.347

Теперь можно вычислить коэффициенты К11 и К12 методом стандартных разностных уравнений, приравняв коэффициенты при степенях z характеристического многочлена системы и коэффициенты эталонного многочлена соответственно

[k11,k12]=solve('-1.941+.1062*K11+.6098e-2*K12=-1.016','.2781e-2*K12-.1054*K11+.9592=0.347')

k11 =

6.7218983544322958785439999556537

k12 =

34.623547845078743473044802346602

Полученная точка находится в области устойчивости

Двукратному запасу устойчивости соответствуют

(k11;2k12)=(6.7;79.2)-находится в области устойчивости

(2k11;k12)=(13.4;34.6)-находится в области устойчивости, следовательно требование двукратных запасов устойчивости выполняется

K0=[6.72 34.62]

A0=Aupr+Bupr*K0

S1=ss(A0,Bupr,Cupr,Dupr)

SD1=c2d(S1,1/12)

step(S1,4)

Рис.7 Переходные процессы при ступенчатом отклонении рулей направления

-при ненулевом начальном значении ω_y

initial(S1,[1 0],3)

Рис.8 Переходные процессы при ненулевом начальном значении ω_y

Как видно при помощи выбранных коэффициентов ОС К11 и К12 мы добились затухания короткопериодических колебаний в 10 раз за период по координате β при отработке ННУ, а также собственной частоты колебаний Ω0=5