Властивості визначеного інтеграла.

Основні властивості визначеного інтеграла

1) ==, тобто визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування.

2) .

3) = -.

4) =+ (якщо кожний із вказаних інтегралів існує).

5) =, де ― число.

6) =+, де точка ― довільна точка осі ОХ (якщо кожен із цих інтегралів існує).

7) Теорема про оцінку визначеного інтеграла.

Нехай і ― найменше та найбільше значення на , тобто для всіх . Тоді

.

8) Теорема про середнє для визначеного інтеграла.

Нехай функція неперервна на відрізку . Тоді на знайдеться точка така, що

=,

(тобто ).

Значення називається середнім значенням функції на відрізку .

Теорема Ньютона-Лейбніца.

Нехай ― первісна для функції на відрізку , тобто = для . Тоді

=-=│.

Метод заміни змінної у визначеному інтегралі.

Метод заміни змінної. Нехай виконуються умови :

а)функція є неперервною на ; б)функція та її похідна є неперервними на відрізку , причому ; в) є монотонною на . Тоді

=.

Звертаємо увагу на те, що при переході до нової змінної у визначеному інтегралі змінюються межі інтегрування.

Приклади

б)

Зауваження. При заміні змінної у визначеному інтегралі немає потреби (на відміну від невизначеного інтеграла), повертатися до старої змінної.

Метод інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

Метод інтегрування частинами. Формула інтегрування частинами для визначеного інтеграла має вигляд: Приклади

а) .

Геометричні застосування визначених інтегралів.

Обчислення площин плоских фігур.

Всюди в цьому розділі всі функції та їх похідні вважаємо неперервними.

Рис.1

Рис.2

Обчислимо площу S криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком неперервної і невід¢ємної функції y=f(x), заданої на [а; b], знизу – відрізком

[а; b], з боків-вертикальними прямими х = а та х = b (рис.1). Розіб¢ємо відрізок [а; b] на n довільних частин за допомогою точок х_{0 ,} х₁ ,…..,х _n (а = х_{0 <}x₁<…..< <x _n-1<x _n= b). Через кожну точку поділу проведемо вертикалі, які розбивають фігуру на n малих криволінійних трапецій. Розглянемо довільний відрізок [х _к-1; х _к] (к =1, ), вважаючи його довжину D х _к = х _к – х _к-1 достатньо малою. Оберемо на ньому довільну точку a _к Î[х _к-1; х _к ]. Тоді площа к-ї криволінійної трапеції наближено дорівнює f (a _к)D х _к  , тобто площі прямокутника з тією ж основою [х _к-1; х _к ] і висотою f (a _к), причому наближення поліпшується, якщо зменшується D х _к . Тоді

                        .

Звернувши увагу на те, що в правій частині останньої рівності одержано інтегральну суму для f (x) на відрізку [a ;b] і вважаючи природним за точне значення площі S прийняти її границю ( при max D x _k®0), одержуємо (див. означення визначеного інтеграла в І.1):

                  .

У загальному випадку, коли фігура обмежена зверху кривою знизу кривою з боків – прямими х=а, х= b (див.рис.2), її площа обчислюється за формулою

ІІ. Обчислення довжин дуг кривих.

Довжина дуги кривої у = f (x) обчислюється за формулою

                         .

ІІ. Обчислення об’ємів тіл обертання.

Об¢єм тіла, одержаного обертанням навколо осі ОХ криволінійної трапеції, обмеженої кривою y = f (x) та прямими х=а, х=b (див.мал.3), обчислюється за формулою:

                        .                             

ІІ. Обчислення площі поверхні обертання.

Площа бічної поверхні тіла, одержаного обертанням навколо осі ОХ криволінійної трапеції, що обмежена кривою y=f (x) і прямими х = а, х = b, обчислюється за формулою:

                   .               

Економічні застосування визначених інтегралів.