- •Означення матриці. Основні поняття.
- •Означення визначників 2-го і 3-го порядків. Їх обчислення.
- •Властивості визначників.
- •Розкладання визначника за елементами рядка або стовпця.
- •Правило Крамера для розв’язання систем лінійніх рівнянь.
- •Означення оберненої матриці та спосіб її знаходження.
- •Матричний метод.
- •Означення рангу матриці.
- •Обчислення рангу методом елементарних перетворень.
- •Дослідження системи лінійних рівнянь на сумісність.
- •Однорідні системи лінійних рівнянь
- •Лінійні дії з векторами.
- •Означення границі функції, основні властивості.
- •Нескінченно малі величини та їх порівняння.
- •Нескінченно великі величини та їх порівняння.
- •Перша особлива границя та її наслідки.
- •Друга особлива границя та її наслідки.
- •Означення похідної функції.
- •Механічний, геометричний та економічний зміст похідної.
- •Правила диференціювання. Основні правила диференціювання
- •Означення монотонної функції. Достатня ознака монотонності.
- •Означення точки екстремуму. Достатня ознака екстремуму.
- •Дослідження функції на опуклість, угнутість, точки перегину.
- •Асимптоти графіка функції.
- •Загальна схема дослідження функції та побудови графіка.
- •Метод інтегрування заміною змінних.
- •Приклади
- •Метод інтегрування частинами.
- •Означення визначеного інтеграла.
- •Властивості визначеного інтеграла.
- •Основні властивості визначеного інтеграла
- •Дорівнює зміні загальних витрат при зростанні кількості виробленої продукції від a до b одиниць.
- •Одержуємо
- •Таким чином, якщо f(t) - продуктивність праці в момент часу t, то - об’єм продукції, що виробляється за проміжок часу [0, т];
- •Невластиві інтеграли (означення, основні поняття, геометрична інтерпретація).
- •Основні означення та поняття розділу «Диференціальні рівняння»
- •Диференціальне рівняння 1-го порядку з відокремленими змінними (вигляд, метод розв’язання)
- •Лінійні рівняння 1-го порядку (вигляд, метод розв’язання)
- •Однорідні рівняння 1-го порядку (вигляд, метод розв’язання)
- •Основні поняття та початкові твердження розділу “Ряди” (означення числового ряду, збіжного та розбіжного ряду, суми ряду; властивості числових рядів).
- •Необхідна умова збіжності числового ряду.
-
Означення матриці. Основні поняття.
Матрицею називається упорядкована таблиця чисел:
- матриця розміром mxn,
аij – елементи матриці, де i -номер рядка матрицi (i =1,…,m), j - номер стовпця матрицi (j=1,…,n), на перетинi яких знаходиться відповідний елемент.
Види матриць
1) Якщо кiлькiсть рядкiв матрицi m не дорiвнює кiлькостi її стовпцiв n, то матриця називається прямокутною.
2) Матриця, в якій кількість n рядків дорівнює кількості стовпців, називається квадратною n-го порядку.
3) Нульовою матрицею називається матриця, в якій всі елементи дорівнюють нулю.
4) Матрицю, що має тiльки один рядок (стовпець), називають вектором-рядком (вектором-стовпцем).
5) Дiагональна матриця має вигляд:
.
6) Одинична матриця n-го порядку:
7) Якщо в матрицi А помiняти мiсцями вiдповiднi рядки i стовпцi, то одержимо матрицю АT, яка називається транспонованою матрицею по вiдношенню до матрицi А.
Дiї над матрицями
1) Сумою двох матриць А і В рівних розмірів (mхn) називається матриця С того ж розміру, елементи якої сij дорівнюють сумі відповідних елементів матриць А і В.
2) Добутком матриці на число називається матриця, елементи якої одержані з даної множенням усіх її елементів на це число.
3) Добутком матриць А і В називається матриця С, елемент якої дорівнює сумі попарних добутків елементів i-того рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В.
-
Означення визначників 2-го і 3-го порядків. Їх обчислення.
Визначником 2-го порядку, складеним для квадратної матриці А=, називається число
.
Визначником 3-го порядку, складеним для квадратної матриці А=, називається число =
(правило трикутника).
Схематичне зображення правила трикутника:
-
Властивості визначників.
Основні властивості визначників
-
Визначник не зміниться, якщо його рядки поміняти місцями з відповідними стовпцями.
-
При переставленні місцями будь-яких двох рядків визначник змінює знак на протилежний.
-
Якщо відповідні елементи двох рядків визначника рівні або пропорціональні, то визначник дорівнює нулю.
-
Якщо всі елементи якого-небудь рядка дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.
-
Загальний множник всіх елементів рядка можна винести за знак визначника.
-
Якщо кожний елемент деякого рядка визначника є сумою двох доданків, то цей визначник дорівнює сумі двох визначників, в одному з яких у тому ж рядку стоять перші доданки, а у другому – другі. Інші рядки у обох визначників однакові та співпадають з відповідними рядками даного визначника.
-
Величина визначника не зміниться, якщо до елементів одного рядка додати відповідні елементи іншого рядка, помножені на одне й те ж саме число.
Мінор Mij елемента аij визначника – це визначник, який одержано з даного викресленням і-го рядка та j-го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент.
Алгебраїчне доповнення Аij елемента аij – це мінор Мij цього елемента, взятий з відповідним знаком за схемою .