4. Розкладання визначника за елементами рядка або стовпця.

Теорема (про розкладання визначника за елементами рядка або стовпця). Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їхні алгебраїчні доповнення.

Система т лінійних рівнянь з п невідомими має вигляд:

де - дійсні числа, які називають коефіцієнтами системи, , i =1,…,m - вільні члени або праві частини рівнянь, , j=1,…,n - невідомі. Якщо n=m, то система називається квадратною. Запис системи (1) в матричному вигляді:

,

де – матриця системи, складена із коефіцієнтів

при невідомих, - вектор-стовпець невідомих,

- вектор-стовпець вільних членів.

Розв’яком системи (1) називається така сукупність n чисел , при підстановці яких кожне рівняння системи перетворюється на вірну рівність.

5. Правило Крамера для розв’язання систем лінійніх рівнянь.

Теорема (Крамера). Якщо визначник системи не дорівнює нулю, то система має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами:(x₁= )

(x₂=) (x₃= )

6. Означення оберненої матриці та спосіб її знаходження.

Матрицю А^-1 називають оберненою по відношенню до квадратної матриці А, якщо

(=1)

,

де Е – одинична матриця.

Для того, щоб квадратна матриця А мала обернену, необхідно і достатньо, щоб визначник матриці А не дорівнював нулю.

Формула для знаходження оберненої матриці:

,

де - визначник матриці А, - алгебраїчні доповнення елементів а_ij.

7. Матричний метод.

Матричний метод: Розв’язок квадратної системи (1’), визначник якої не дорівнює нулю, знаходиться за формулою:

.

Дві системи рівнянь називаються рівносильними, якщо вони мають однакову множину розв’язків. Від даної системи до рівносильної їй можна прийти за допомогою еквівалентних перетворень систем рівнянь, до яких відносяться множення обох частин рівнянь на ненульове число та складання відповідних частин рівнянь системи.

8. Означення рангу матриці.

Рангом r(A) матриці A називається найбільший порядок відмінних від нуля мінорів цієї матриці.

При знаходженні рангу користуються тим , що ранг не змінюється при виконанні елементарних перетворень над матрицею, до яких відносяться такі операції:

1) переставлення місцями будь-яких двох рядків (стовпців);

2) множення усіх елементів будь-якого рядка (стовпця) на відмінне від нуля число;

3) додавання до усіх елементів деякого рядка (стовпця) матриці відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на одне й те саме число;

4) відкидання нульового рядка (стовпця)

9. Обчислення рангу методом елементарних перетворень.

Елементарні перетворення над матрицею (не змінюючи рангу):

1.Переставлення місцями будь-яких двох рядків(стовпців);

2.Множення усіх елементів будь-якого рядка (стовпця) на відмінне від нуля число;

3.Додавання до усіх елементів деякого рядка (стовпця) матриці відповідних елементів іншого рядка (стовпція), помножених на одне і те саме число.

4.Відкидання нульового рядка ( стовпця).