19. Означення похідної функції.

Похідною функції y=f(x)за аргументом x називають границю відношення приросту функції y до приросту аргументу х, коли х довільним образом прямує до нуля. Якщо ця границя існує, то її позначають через f’(x) або :

Операцію знаходження функції у = f(x) називають диференціюванням цієї функції. Функцію f(x), яка має похідну в точці x, називають диференційовною в точці x.

Якщо функція має похідну в кожній точці деякого проміжку, то її називають диференційовною у цьому проміжку.

20. Механічний, геометричний та економічний зміст похідної.

Механічний зміст похідної: похідна S’(t) є величиною миттєвої швидкості в момент t тіла, що рухається за законом S=S(t).

Геометричний зміст похідної: похідна f’(x) дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка y = f(x) в точці з абсцисою х.

Економічний зміст похідної: похідна V’(x) дорівнює маргінальній вартості, де V(х)-функція витрат виробництва х одиниць продукції.

21. Правила диференціювання. Основні правила диференціювання

Нехай С-постійна,u=u(x),v=v(x)-функції, що мають похідні.Тоді:

1)С’=0; 2)x’=1; 3)(u  v)’=u’ v’; 4)(Cu)’=Cu’;

5)(uv)’=u’v+uv’; 6)

7)якщо y=f(u),u=u(x),тобто y=fu(x),де функції f(u)та u(x)мають похідні, то y’_x = y’_uu’_x

(правило диференціювання складної функції).

22. Таблиця похідних основних елементарних функцій.

1.(x^m) = mx ^m-1 ;

2.(e^x)= e^x ;

3.(lnx)=

4.(sinx)=cosx ;

5.(cosx)= -sinx ;

6.(tgx)=1/cos²x ;

7.(ctgx)= -1/sin²x ;

8.(arcsinx)=

9.(arccosx) =-

10.(arctgx) =

11.(arcctgx) = -

12.

13.

14.

15.

23. Означення монотонної функції. Достатня ознака монотонності.

Функція називається зростаюча, якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції:

Теорема:(Достатня ознака монотонності).

1.f (x) 0,при x є (a,b) f (x) зростає на (a,b)

2. f (x)0,при x є (a,b) f (x) спадає на (a,b) 3. f (x)=0, при x є (a,b) f (x)=const на (a,b)

24. Означення точки екстремуму. Достатня ознака екстремуму.

Точка називається точкою максимуму функції у= f(x), якщо f(x₀)найбільше значення функції в деякому околі точки . Точки min і max – точки екстремуму.

Точка з області визначення функції у= f(x) називається критичною точкою( точка підозріла на екстремум) функції, якщо f(x₀)=0, або f (x₀) не існує.

ТЕОРЕМА ( Достатня ознака екстремуму)

Якщо f(x) при переході через критичну точку , змінює свій знак на протилежний, то - точка екстремуму.( з + на - max, - на + min).

25. Схема дослідження функції на монотонність та екстремуми.

1.D (y)

2. y ( розкласти на множники).

3.знайти критичні точки.

4. визначити проміжки знакосталості y, встановити проміжки монотонності ( за методом інтервалів).

5. прослідкувати за зміною знака y при переході через критичні точки, встановити точки екстремуму.