7. Параметризированная функция бинарного поиска в массиве.

#include <iostream.h>

template <class Stype> int binary_search( Stype *item, int count, Stype key);

int main ()

{char str[]="acdefg";

int nums[] = { 1, 5, 6, 7, 13, 15, 21 };

int index;

index = binary_search( str, (int)sizeof(str), 'd' );

if (index>=0)

cout << "Найдено совпадение в позиции: " << index << endl;

else

cout << "Совпадение не найдено\n";

index = binary_search(nums, 7, 21);

if (index>=0)

cout << "Найдено совпадение в позиции: " << index << endl;

else

cout << "Совпадение не найдено\n";

return 0;}

template <class Stype> int binary_search( Stype *item, int count, Stype key)

{int low=0, high = count-1, mid;

while ( low<= high ) {mid = ( low + high) /2;

if ( key < item[mid] ) high = mid - 1;

else if (key>item[mid]) low = mid+1;

else return mid; // совпадение}

return -1;}

8. Кодування символів, алгоритм Хаффмана.

Идея, лежащая в основе кода Хаффмана, достаточно проста. Вместо того чтобы кодировать все символы одинаковым числом бит, будем кодировать символы, которые встречаются чаще, меньшим числом бит, чем те, которые встречаются реже.

Первым такой алгоритм опубликовал Д. Хаффман в 1952 году. Алгоритм Хаффмана двухпроходный. На 1-ом проходе строится частотный словарь и генерируются коды. На 2-ом проходе происходит непосредственно кодирование.

Стоит отметить, что за более чем 50 лет со дня опубликования, код Хаффмана ничуть не потерял своей актуальности и значимости. Так с уверенностью можно сказать, что мы сталкиваемся с ним, в той или иной форме (дело в том, что код Хаффмана редко используется отдельно, чаще работая в связке с другими алгоритмами), практически каждый раз, когда архивируем файлы, смотрим фотографии или слушаем музыку.

Код Хаффмана

Определение 1. Пусть A={a₁,a₂,...,a_n} - алфавит из n различных символов, W={w₁,w₂,...,w_n} - соответствующий ему набор положительных целых весов (например, частот появления этих символов). Тогда набор бинарных кодов C={c₁,c₂,...,c_n}, такой что:

1. c_i не является префиксом для c_j, при i!=j

2. минимальна (- длина кода c_i)

называется минимально-избыточным префиксным кодом или иначе кодом Хаффмана.

Замечания:

Свойство (1) называется свойством префиксности. Оно позволяет однозначно декодировать коды переменной длины.

Сумму в свойстве (2) можно трактовать как размер закодированных данных в битах. На практике это очень удобно, т.к. позволяет оценить степень сжатия не прибегая непосредственно к кодированию.

В дальнейшем, чтобы избежать недоразумений, под кодом будем понимать битовую строку определенной длины, а под минимально-избыточным кодом или кодом Хаффмана - множество кодов (битовых строк), соответствующих определенным символам и обладающих определенными свойствами.

Известно, что любому бинарному префиксному коду соответствует определенное бинарное дерево.

Опреде 2. Бинарное дерево, соответствующее коду Хаффмана, будем называть деревом Хаффмана.

Задача построения кода Хаффмана равносильна задаче построения соответствующего ему дерева. Приведем алгоритм построения дерева Хаффмана:

Составим список кодируемых символов (при этом будем рассматривать каждый символ как одноэлементное бинарное дерево, вес которого равен весу символа).

Из списка выберем 2 узла с наименьшим весом.

Сформируем новый узел и присоединим к нему, в качестве дочерних, два узла выбранных из списка. При этом вес сформированного узла положим равным сумме весов дочерних узлов.

Добавим сформированный узел к списку, а два выбранных узла исключим из списка.

Если в списке больше одного узла, то повторим пункты 2-5.

Рассмотрим процесс построения дерева Хаффмана на примере фразы "abrakadabra". Первым шагом, необходимо построить таблицу частот символов, в которой отображено количество каждого символа в данном сообщении. В нашем случае она будет иметь вид: a - 5, b - 2, r - 2, d - 1, k - 1. Далее, следуем описанному выше алгоритму. Полученное дерево показано на рис. 13.

Рис. 13. Дерево Хаффмана для фразы ‘abrakadabra’.

Таким образом, дерево Хаффмана строится снизу вверх - от "листьев" к корню. Символы, которые встречаются чаще, находятся ближе к корню дерева и получают более короткие коды. Коды символов вычисляются следующим образом: начинаем от корня дерева; добавляем '0', каждый раз, когда переходим к левому "потомку" узла, '1' - к правому потомку. В нашем случае коды символов будут следующими: a -'0', b - '10', r - '110', d - '1110', k - '1111'. Полученными кодами Хаффмана заменяются символы в исходнм потоке и получается выходной поток длиной N бит - сжатое сообщение. Например, 'abrakadabra' после сжатия имеет следующий вид:

0	10	110	0	1111	0	1110	0	10	110	0
a	b	r	a	k	a	d	a	b	r	a

Итак имеем: исходное сообщение - 88 бит, сжатое - 23 бита. Сжали почти в 4 раза. Но такое сжатие не всегда возможно, это всего лишь маленький пример. К тому же, мы не касались вопроса - а как это сообщение расжать. Для его расжатия нам необходимо наше дерево Хаффмана, поэтому придётся каким-либо образом дописывать его к сжатому потоку данных.

Расжатие потока происходит очень просто: начинаем с корня дерева; берём левого потомка, каждый раз, когда в потоке появляется бит '0', и правого потомка, когда в потоке появляется бит '1'. При достижении конечного узла дерева, выводим символ в выходной поток и переходим к корню дерева. И так до тех пор, пока входой поток бит не закончится.

Одним из самых существенных недостатков данного алгоритма является необходимость дважды проходить по потоку данных: один раз для подсчёта таблицы вероятностей символов и построения дерева, второй раз для непосредственной кодировки.

функцию и способ разрешения коллизий (методом цепочек, открытой адресации, деления).

Рассм простую задачу. Количество различных буквосочетаний длиной не более 4 символов из 32 букв русского алфавита чуть больше 10^6. При линейном поиске в худшем случае для ответа на вопрос "есть или нет" потребуется 10^6 сравнений, при бинарном — порядка 50. Можно ли уменьшить количество сравнений и уменьшить объем требуемой оперативной памяти, резервировать не 10^6, а, например, 10^3 элементов памяти? Обозначим цифровой аналог буквосочетания символом R, а адрес в массиве через А. Если будет найдено преобразование f(R), дающее значение А такое, что f выполняется достаточно быстро; случаев, когда f(R1) = f(R2), будет минимальное количество, то задача поиска трактуется совсем иначе, чем рассмотрено выше. Этот способ поиска называется хешированием. Итак, ключ преобразуется в адрес, в этом суть метода.

Хеш-функция

Для определенности полагается, что хеш-функция имеет не более М различных значений, при чем для всех К 0<=h(K)<M. На практике ключи зачастую избыточны, поэтому нужно внимательно выбирать хеш-функцию. Многочисленные тесты показали хорошую работу двух основных типов хеш-функций(один основан на делении, второй на умножении).

Метод деления h(K) = K mod M. Метод умножения h(k)=M A/w K. W – размер машинного слова. А – некоторое целое число.

Хорошая хеш-функция должна удовлетворять 2 требованиям:

1. ее вычисление должно выполняться очень быстро

2. она должна минимизировать количество коллизий.

Хеш-таблица

Самая простая структура описывающая хеш-таблицу:

struct list{int el;list *next;};

list hashtable[n];