2.10. Возможные формальные возражения против 183

Многие ошибочно полагают (в духе приведенных в возражении Q16 соображений), что из теоремы Гёделя следует существование множества различных арифметик, каждая из которых в равной степени обоснованна. Соответственно, та частная арифметика, которую мы, возможно, по чистой случайности избрали для своих нужд, определяется просто какой-то произвольно взятой формальной системой. В действительности же теорема Гёделя показывает, что ни одна из этих формальных систем (будучи непротиворечивой) не может быть полной; поэтому (как доказывается далее) к ней можно непрерывно добавлять какие угодно новые аксиомы и получать всевозможные альтернативные непротиворечивые системы, которыми при желании можно заменить ту, в рамках которой мы работаем в настоящий момент. Эту ситуацию нередко сравнивают с той, что сложилась некогда с евклидовой геометрией. На протяжении двадцати одного века люди верили, что евклидова геометрия является единственно возможной геометрией. Но когда в восемнадцатом веке сразу несколько великих математиков (таких как Гаусс, Лобачевский и Бойяи) показали, что существуют в равной степени возможные альтернативы общепринятой геометрии, геометрии пришлось отступить с абсолютных позиций на произвольные. Нередко можно услышать, будто Гёдель показал, что арифметика так же представляет собой предмет произвольного выбора, при этом один набор непротиворечивых аксиом оказывается ничуть не хуже любого другого.

Однако подобная интерпретация того, что доказал Гёдель, абсолютно неверна. Согласно Гёделю, само по себе понятие формальной системы аксиом не подходит для передачи даже самых элементарных математических понятий. Когда мы употребляем термин "арифметика" без дальнейших пояснений, мы подразумеваем обычную арифметику, которая работает с обычными натуральными числами О, 1, 2, 3, 4, ... (и, быть может, с их отрицаниями), а вовсе не со "сверхнатуральными" числами, что бы это понятие ни означало. Мы можем, если пожелаем, исследовать свойства формальных систем, и это, конечно же, станет ценным вкладом в процесс математического познания. Однако такое предприятие несколько отличается от исследования обычных свойств обычных натуральных чисел. В некотором отношении данная ситуация весьма напоминает ту, что сложилась в последнее время с геометрией. Изучение неевклидовых геометрий

184 Глава 2

интересно с математической точки зрения, да и сами геометрии имеют ряд важных областей применения (например, в физике, см. НРК, глава 5, особенно рис. 5.1 и 5.2, а также § 4.4), но, когда термин "геометрия" используется в обычном языке (в отличие от "жаргона" математиков или физиков-теоретиков), подразумевается, как правило, обычная евклидова геометрия. Однако имеется и разница: то, что логик может назвать "евклидовой геометрией", действительно можно определить (с некоторыми оговорками ) через определенную формальную систему, тогда как обычную "арифметику", как показал Гёдель, определить таким образом нельзя.

Гёдель доказал не то, что математика (в особенности арифметика) - это произвольные поиски, направление которых определяется прихотью Человека; он доказал, что математика - это нечто абсолютное, и в ней мы должны не изобретать, но открывать (см. § 1.17). Мы открываем, что такое натуральные числа и без труда отличаем их от любых сверхнатуральных чисел. Гёдель показал, что ни одна система "искусственных" правил не способна сделать это за нас. Такая платоническая точка зрения была существенна для Гёделя, не менее существенной она будет и для нас в последующих рассуждениях (§ 8.7).

Q17. Допустим, что формальная система F предназначена для представления тех математических истин, что в принципе доступны человеческому разуму. Не можем ли мы обойти проблему невозможности формального включения в систему F гёде-левского высказывания G (F), включив вместо него что-либо, имеющее смысл G (F), воспользовавшись при этом новой интерпретацией смысла символов системы F?

Определенные способы представления примененного к F гё-делевского доказательства в рамках формальной системы F (достаточно обширной) действительно существуют, коль скоро новый, реинтерпретированный, смысл символов системы F полагается отличным от исходного смысла символов этой системы. Однако если мы пытаемся таким образом интерпретировать систему F как процедуру, с помощью которой разум приходит к тем или иным математическим выводам, то подобный подход является не чем иным, как шулерством. Если мы намерены толковать