3.26. Разрыв вычислительных петель 317

(т. е. натуральных числах, кроме нуля) следующего уравнения: р4 + д4 + г4 = s4.

В 1769 году Эйлер предположил, что это вычисление является незавершаемым. В середине 1960-х Л.Лэндером и Т. Паркином была предпринята попытка отыскать решение с помощью специально разработанной компьютерной программы (см. [234]), однако проект через некоторое время оставили ввиду отсутствия перспективы получить искомое решение в сколько-нибудь обозримом будущем - получаемые в процессе числа оказались слишком велики для имеющегося в распоряжении математиков компьютера, и они просто-напросто сдались. По всему выходило, что это вычисление и впрямь не завершается. Однако в 1987 году математику (человеку, кстати) Ноаму Элькису не только удалось показать, что решение таки существует, но и представить его в численном виде: р = 2682440, q = 15365639, = 18796760 и s = 20615673. Он также показал, что существует бесконечно много других решений, существенно отличных от полученного им. Воодушевленный этим результатом Роджер Фрай решил возобновить компьютерный поиск, внеся в программу несколько предложенных Элькисом упрощающих поправок и, в конечном счете, затратив приблизительно 100 часов компьютерного времени, получил несколько, правда, меньшее (вообще говоря, наименьшее возможное), но вполне подходящее решение: р - 95800, q = = 217519, = 414560 и s = 422481.

Лавры за решение этой задачи следует разделить поровну между математическими интуитивными прозрениями и прямыми вычислительными подходами. Решая задачу математически, Элькис прибегал и к помощи компьютерных вычислений, пусть и относительно несущественных, хотя по большей своей части его аргументация таких подпорок не требует. И наоборот, как мы видели выше, для того чтобы сделать вычисление вообще возможным, Фраю потребовалось весьма существенная помощь со стороны человеческой интуиции.

Думаю, следует поместить нашу задачу в несколько более подробный контекст - первоначальное предположение Эйлера, сделанное в 1769 году, представляло собой нечто вроде обобщения знаменитой "последней теоремы Ферма", согласно которой, как читатель, возможно, припоминает, верно следующее:

318 Глава 3

уравнение

не имеет решения в положительных целых числах ес-

ли п больше 2 (см., напр., [89]9). Мы можем перефразировать предположение Эйлера и записать его в следующем виде: не имеет решения в положительных целых числах уравнение

где р, Q, ..., t суть положительные целые числа общим количеством п - 1, а п равно 4 или больше. Утверждение Ферма относится к случаю п = 3 (частный случай предположения Эйлера, причем то, что соответствующее уравнение решений не имеет, сам Ферма и доказал - вот только доказательства нам не оставил). Прошло почти 200 лет, прежде чем был найден первый пример, опровергающий предположение Эйлера (в случае п = 5), - для отыскания решения был использован компьютерный перебор (подробнее об этом можно прочесть в той статье Лэндера и Пар-кина, на которую я уже ссылался выше и в которой сообщается о неудаче со случаем п = 4):

Вспомним еще об одном знаменитом примере вычисления, о котором известно лишь то, что оно в конце концов завершается; когда именно оно завершается, неизвестно до сих пор. Это вычисление связано с задачей об отыскании точки, в которой одна хорошо известная приближенная формула для определения количества простых чисел, меньших некоторого положительного целого п (интегральный логарифм Гаусса), оказывается не в состоянии это количество оценить. В 1914 году Дж. Э. Литлвуд показал, что в некоторой точке эта задача имеет решение. (Приблизительно то же можно выразить и иначе: например, доподлинно известно, что две кривые в некоторой точке пересекаются.)

9Многие читатели, должно быть, уже слышали, что "последняя теорема Ферма" после 350 лет неудачных попыток наконец-то доказана; доказательство представил 23 июня 1993 года в Кембридже Эндрю Уайлз. Как раз когда я писал эти строки, мне сообщили, что в доказательстве все еще имеются несколько досадных неувязок, так что радоваться пока рано, однако вполне возможно, что в ближайшее время Уайлз предоставит достаточные для устранения этих неувязок аргументы.

3.27. Вы числительная математика 319

В 1935 году ученик Литлвуда по фамилии Скьюс показал, что

упомянутая точка приходится на число, меньшее , одна-

ко точное число так и остается неизвестным, хотя оно, конечно же, значительно меньше предела, поставленного Скьюсом. (Это число называли в свое время "наибольшим числом, когда-либо естественным образом возникавшим в математике", однако тот временный рекорд оказался на настоящий момент побит с огромным отрывом в примере, приведенном в работе Грэма и Ротшильда [165], с. 290.)