5.16. Ортогональность произведений состояний

С ортогональностью произведений состояний (в том виде, в каком я определил эти произведения выше) дела обстоят не так просто, как хотелось бы. Допустим, у нас имеется два ор-

.5.16. Ортогональность произведений состояний 449

тогональных состояния ; тогда мы вправе ожидать,

что состояния также будут ортогональными, при-

чем при любом . Пусть, например, - возможные

альтернативные состояния фотона, где - состояние фотона, зарегистрированного неким фотоэлементом, а ортогональное состояние - предполагаемое состояние фотона в случае, когда фотоэлемент не регистрирует ничего (нулевое измерение). Можно представить себе, что наш фотон является компонентом некоей совокупной системы - просто добавим к нему еще какой-нибудь объект (например, другой фотон, скажем, где-нибудь на Луне) и обозначим состояние этого другого объекта через Таким образом, для нашей совокупной системы возможны два альтернативных состояния - . Простое добавле-

ние состояния в имеющееся описание не должно, разумеется, оказать никакого влияния на ортогональность двух первоначальных состояний. В самом деле, если говорить об определении произведения состояний в терминах обычного "тензорного произведения" (или необычного - в данном случае, грассманова произведения, а точнее, некоторой его модификации, используемой в наших рассуждениях), то так оно и есть, и из ортогональности состояний действительно следует ортогональность и

Как бы то ни было, пути, которыми, похоже (согласно последним данным квантовой теории), предпочитает следовать Вселенная, далеко не столь прямолинейны. Если бы состояние можно было счесть полностью независимым и от , и от то тогда его присутствие и в самом деле ничего бы не меняло. Однако формально полной независимости здесь быть не может, и состояние даже пребывающего на Луне фотона оказывает самое непосредственное воздействие на состояние фотона, регистрируемого нашим фотоэлементом9. (С этими формальностями связано, в частности, то, что под обозначением " " мы подразумеваем произведение грассманова типа - если использовать более привычные термины, то речь тут идет о так называемой

9Любопытно, что такого рода феномены находят недвусмысленное подтверждение в реальных физических наблюдениях. Описанный Хэнбери Брауном и Твиссом [187, 188] эффект, в соответствии с которым были измерены диаметры некоторых близлежащих звезд, основывается как раз на таком "бозонном" свойстве взаимодействия достигающих Земли фотонов, испущенных с противоположных краев звезды.

450 Глава 5

"статистике Бозе" (описание состояний фотонов и прочих бозонов) или о "статистике Ферми" (описание состояний ферми-онов - электронов, протонов и т.д.), см. НРК, с. 277, 278 и, скажем, [94].) Если бы перед нами стояла задача получить абсолютно точный с точки зрения теории результат, то рассмотрение состояния одного-единственного фотона потребовало бы учета состояний всех фотонов во Вселенной. Впрочем, необходимости в этом (к счастью) нет - и без такого учета точность получаемых результатов хоть и не абсолютна, но все же чрезвычайно высока. Если состояния ортогональны, то можно с очень высо-

кой степенью точности предположить, что ортогональными будут и состояния (даже если это произведения грассма-

нова типа), где - любое состояние, не имеющее очевидного отношения к рассматриваемой задаче (каковая задача непосредственно касается лишь ортогональных состояний ). Так и предположим.