5.14. Коммутирующие измерения

При проведении нескольких последовательных измерений квантовой системы порядок, в котором эти измерения выполняются, может быть, в общем случае, важным. Измерения, от порядка выполнения которых зависит, какой вектор состояния мы получим в конечном итоге, называются некоммутирующими. Если же порядок выполнения измерений не играет абсолютно никакой роли (не изменяется даже фаза результирующего состояния), то мы говорим, что такие измерения коммутируют. В терминах гильбертова пространства это можно понимать так: при нескольких последовательных ортогональных проекциях заданного вектора состояния окончательный результат, как

5.15. Квантовомеханическое"И" 445

правило, зависит от порядка выполнения этих проекций. В случае коммутирующих измерений порядок их выполнения никакой роли не играет.

Что же происходит в случае примитивных измерений? Нетрудно убедиться, что для коммутируемости двух различных примитивных измерений необходимо, чтобы ДА-луч одного был ортогонален ДА-лучу другого.

Например, примитивные измерения спина атома со спином (см. §5.10) можно выполнять в любом порядке, так как

все возможные состояния здесь

ортогональны друг другу. Таким образом, окончательный результат измерения никак не зависит от выбранного мной конкретного порядка выполнения примитивных измерений - все эти измерения коммутируют. Впрочем, в общем случае это не всегда так - например, нам может вздуматься выполнять отдельные измерения спина относительно различных направлений. Такие измерения, как правило, не коммутируют.

5.15. Квантовомеханическое "и"

В квантовой механике имеется стандартная процедура для исследования систем из двух и более независимых компонентов. Эта процедура понадобится нам, в частности, при рассмотрении с квантовой точки зрения (которое мы планируем дать в § 5.18) системы, состоящей из двух далеко разнесенных в пространстве частиц со спином - тех самых частиц, которые "Квинтэссенци-

альные Товары" поместили в магические додекаэдры (см. §5.3). Необходима такая процедура и для квантовомеханического описания детектора в момент сцепления его состояния с квантовым состоянием регистрируемой частицы.

Рассмотрим для начала систему, состоящую всего из двух независимых (невзаимодействующих) компонентов. Допустим, что каждый из этих компонентов (в отсутствие другого) описывается своим вектором состояния - скажем, . Как описать всю систему, в которой присутствуют оба компонента? Обычная процедура заключается в составлении так называемого тензорного (или внешнего) произведения этих векторов, которое записывается следующим образом:

446 Глава 5

Мы можем рассматривать это произведение как стандартный квантовомеханический способ представления обыкновенного логического "И" - в том смысле, что такая система объединяет в себе в некоторый момент времени обе независимые квантовые системы, представленные, соответственно, векторами состояния . (Например, может представлять электрон, находящийся в точке А, - атом водорода в некоторой отдаленной точке В. Тогда состояние, в котором электрон находится в точке А, а атом водорода - в точке В, будет представлено произведением .) Величина представляет одно квантовое состояние - мы вполне можем обозначить его одним вектором состояния, скажем, \х), и, не нарушив ни одного закона, записать

Следует особо подчеркнуть, что это понятие "И" не имеет ничего общего с квантовой линейной суперпозицией, которая записывается как сумма векторов состояний или, в общем случае, , где z и - комплексные весовые коэффициенты. Например, если - возможные состояния одного фотона (соответствующие, скажем, его расположению в различных точках А и В), то запись также представляет возможное состояние того же самого фотона, при котором он замирает в нерешительности где-то между А и В в соответствии с маловразумительными предписаниями квантовой теории, - одного фотона, заметим, никак не двух. Состояние пары фотонов, при котором один находится в точке А, а другой - в точке В, будет представлено уже вектором

разве что равенство , строго говоря, некорректно.

Это, впрочем, отнюдь не означает, что интерпретация понятия "И" в квантовомеханическом контексте предполагает, что сово-

Тензорное произведение подчиняется тем же алгебраическим правилам, каким, по нашим представлениям, и должно подчиняться любое уважающее себя произведение:

5.15. Квантовомеханическое"И" 447

купная система " " физически чем-то отличается от со-

вокупной системы " ". Мы попробуем обойти эту пробле-

му посредством несколько более глубокого погружения в таинства действительного поведения Вселенной на квантовом уровне. В дальнейшем под записью мы будем подразумевать не то, что математики называют "тензорным произведением", а скорее то, что в математической физике (с недавних пор) называется грассмановым произведением. Тогда к записанным выше можно добавить еще одно правило:

Знак "минус" появляется здесь лишь в том случае, когда оба состояния ( ) "охватывают" нечетное количество частиц с

нецелочисленным спином. (Такие частицы называются фермио-

нами, а их спин принимает значения - Частицы со

спином 0,1,2,3,... называются бозонами и на знак в приведенном выше выражении никак не влияют.) Впрочем, на данном этапе читателю нет необходимости вникать во все эти формальности. До тех пор, пока нас занимает лишь скрывающееся за описанием физическое состояние, " " ничем не отличается от

и

Для описания состояний с тремя или большим количеством независимых компонентов мы просто повторяем процедуру. Так, если обозначить индивидуальные состояния этих трех компонентов через |а), |/?) и \^), то состояние, в котором все три компонента наличествуют одновременно, описывается произведением

Н1/Ш,

причем грассманово произведение (|о;)|/?))|7) (или, что эквивалентно, |а)(|/3)|7))) описывает то же самое состояние. Аналогичным образом рассматриваются и системы с четырьмя или более независимыми компонентами.

Следует упомянуть и об одном важном свойстве шрёдинге-ровой эволюции U: эволюция совокупной системы \а)\/3) (где |а) и \р) никак друг с другом не взаимодействуют) есть не что иное, как совокупность эволюции индивидуальных систем. Так, если по истечении некоторого времени t система |а) эволюционирует (индивидуально) в систему \а'), а система \/3) эволюционирует

448 Глава 5

(индивидуально) в систему , то совокупная система за то же время t эволюционирует в систему . Аналогично,

если у нас имеется три невзаимодействующих компонента ,

, эволюционирующих, соответственно, в и

то совокупная система посредством той же эволюции

переходит в состояние . То же верно для четырех и

более компонент.

Отметим, что свойство это очень похоже на свойство линейности эволюции U (см. §5.7), согласно которому результат эволюции суперпозиции состояний в точности совпадает с суперпозицией результатов эволюции отдельных состояний. Состояние , например, эволюционирует в . Тем не менее, речь в обоих случаях идет о совершенно разных вещах, и очень важно об этой разнице не забывать. Нет ничего удивительного в том, что система, составленная из невзаимодействующих независимых компонентов, эволюционирует - как целое - так, словно ни один из ее отдельных компонентов понятия не имеет о присутствии в системе остальных. Независимость компонентов (т. е. полное отсутствие каких бы то ни было взаимодействий между ними) в данном случае - существенное условие, иначе свойство не "работает". Свойство линейности же оказывается поистине неожиданным. Получается, что под действием U системы-суперпозиции состояний эволюционируют как набор отдельных, полностью изолированных друг от друга состояний независимо от того, изолированы эти состояния в действительности или между ними существуют какие-то взаимодействия. Одного этого достаточно, чтобы усомниться в абсолютной справедливости свойства линейности. И все же эволюция U линейна (и тому есть многочисленные подтверждения), но лишь в отношении феноменов, целиком и полностью ограниченных квантовым уровнем. Нарушение же линейности происходит, по всей видимости, исключительно под действием процедуры R. К этому вопросу мы еще вернемся.