§ 15. Площини симетрії поверхні другого порядку

Означення 15,1. Площина а називається площиною си­метрії поверхні, якщо разом із довільною її точкою М цій поверхні належить і точка М', симетрична точці М відносно площини а.

Нехай у деякій прямокутній системі координат повер­хня другого порядку задана загальним рівнянням

a₁₁х² + а.₂₂у² + а.₃₃z² + 2а₁₂ху + 2a_l3xz+

+ 2а₂₃уz + 2а₁₄х + 2а₂₄у + 2а₃₄z + а₄₄ = 0 (2)

Нехай ця поверхня має площину симетрії, нормаль-

ний вектор якої п(А; В; С) (рис.34). Тоді ця площина симетрії буде діаметральною площиною, спряженою з на­прямком, який задається вектором л(A;B;С). Тому її рівняння за­пишеться так:

Рис. 34

AF_l + BF₂ + CF₃ =0,

або

А(а₁₁х + a_l2y + a_i3z + a₁₄)+ В(а₂₁х + а₂₂у + a₂₃z + а₂₄) +

+ С(а₃₁х + а₃₂у + a₃₃z + а₃₄) = 0;

(Аа₁₁ + Ва₂₁ + Са₃₁ )х + (Аа_І2 + Ва₂₂ + Са₃₂ )у +

+(Aа₃₁+ Ва₃₃ + Са₃₃)z + Аа₁₄ + Ва₂₄ + Са₃₄ =0.

Коефіцієнти при змінних x ,у, z у цьому рівнянні є координатами нормального вектора до даної площини, який буде колінеарним до вектора п(А; В; С), тому координати цих векторів пропорційні. Отже, справедливі такі рівності:

Звідси, беручи до уваги що, дістанемо:

(51)

Ця система матиме неяульовий розв'язок відносно (А; В; С) тоді і тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю:

(52)

Рівняння (52) називається характеристичним рівнянням да­ної поверхні.

Оскільки матриця А = (аіj), іj = 1,3, є симетричною, то, як відомо з алгебри, її власні числа (корені рівняння (52)) будуть дійсними. Розв'язавши рівняння (52) і знайшовши його корені λ₁,λ₂,λ₃, необ­хідно підставити їх по черзі в систему (51). Розв'язуючи систему (51) для кожного λ₁,λ₂,λ₃, знайдемо координати А, В_, С відповідних нормальних векторів площин симетрії. Залежно від того, скільки розв'язків має система (51), поверхня може мати різну кількість площин симетрії.

Знайшовши координати вектора п, відразу можна записати рів­няння площини симетрії як відповідної діаметральної площини.

Приклад. Знайти площини симетрії поверхні

х² + у² - Зz² - 6yz - 6xz - 2ху + 2х + 2у + 4z = 0.

Розв'язання.

1. Складемо і розв'яжемо характеристичне рівняння

λ³+λ²-24λ + 36 = 0;

(λ-2)(λ-3)(λ+ 6) = 0.

Отже, λ₁= 2, λ₂ = 3, λ₃ = -6.

2. Для кожного з коренів характеристичного рівняння знаходи­мо із системи (52) відповідний нормальний вектор шуканої площини симетрії

Нехай В=-1. Тоді А = 1. Отже, n1(1; - 1; 0).

Нехай С=-1,тоді А=В = 1, n₂(1;1;-1).

Нехай В = 1, тоді С=2.А=1, n₃(1; 1; 2).

3. Записуємо рівняння площин симетрії як рівняння діаметраль­них площин, спряжених до знайдених напрямів (формула (44) § 12) Для цієї поверхні

F₁ =х - у – 3z +1,

F₂ = -x + у - 3z +1,

F₃=-3x-3y-3z + 2.

Тому рівняння площин симетрії такі:

1)1(x-y-3z+ 1)+1(-x ₊ y-3z+1)=0;

2х - 2у = 0;

х - у = 0;

2) 1 • (x - у – 3z +1)+1(- х + у – 3z+1)-1(- 3x- 3y- 3z + 2) = 0; 3х + 3y-3z = 0;

x + у - z = 0;

3) 1 • (х - у – 3z +1) +1(- х + у – 3z +1) + 2 • (- 3х - 3у – 3z + 2) = 0; 6x-6y-12z+6=0

x+y+2z-1=0

Відповідь. x -y= 0;x + y-z = 0;x + y+2z-1 = 0.