§ 10. Гіперболічний параболоїд

Означення 10.1. Гіперболічним параболоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат задається рівнянням

z= (27)

Це рівняння називається канонічним рівнянням гіперболічного параболоїда, а відповідна система координат - канонічною.

Властивості гіперболічного параболоїда:

1. Гіперболічний параболоїд проходить через початок координат, і це єдина точка, в якій він перетинає координатні осі.

2. Гіперболічний параболоїд симетричний відносно координатних площин OXZ, OYZ. Тому він симетричний і відносно осі OZ, яка називається його віссю. Точка, в якій ця вісь перетинає гіперболічний параболоїд, називається його вершиною.

3. Якщо гіперболічний параболоїд перетнути площиною z = h, паралельною до площини OXY, то в перетині утвориться гіпербола

уявна вісь якої буде паралельною до осі ОY, якщо h > 0, і до осі ОХ, якщо h < 0 (рис. 29). Якщо ж h = 0, то перетином буде пара прямих, що перетинаються

або

Якщо перетнути гіперболічний параболоїд площиною х = h, паралельною до площини OYZ, то в перетині утвориться парабола

(28)

вітки якої напрямлені вниз (рис. 29).

Якщо гіперболічний параболоїд перетнути площиною у = h, паралельно до площини OXZ, то в перетині утвориться парабола

(29)

вітки якої напрямлені вгору.

Зокрема, при перетині площиною OXZ утвориться парабола

(30)

Рис. 29

Координати вершини параболи (28) задовольняють рівняння (30). Отже, вершина параболи (28) лежить на параболі (30). Таким чином, гіперболічний параболоїд може бути утворений в результаті руху параболи (28), площина якої паралельна до площини OYZ так, щоб її вершина «ковзала» по параболі (30), яка лежить у перпендикулярній площині OXZ.

Поверхня, задана рівнянням , також є гіперболічним параболоїдом, симетричним розглянутому відносно координатної площини OXY.

Якщо гіперболічний параболоїд задається рівнянням у =

або то його віссю є пряма OY.

Якщо ж його рівняння чи то віссю є пряма ОХ.

Приклад. Записати канонічне рівняння гіперболічного параболоїда, який перетинає площину OXZ по параболі z =, а площину OYZ - по параболі z = .

Розв'язання. Шуканий гіперболічний параболоїд перетинає по параболах координатні площини OXZ і OYZ, тому його віссю є пряма OZ, a рівняння має вигляд

де

Перетин такої поверхні з площиною OXZ в системі координат OXZ задається рівнянням

Зіставляючи з умовою задачі, доходимо висновку, що = -1, а² = 4. Аналогічно перетином з площиною OYZ є лінія, що у відповідній системі координат задається рівнянням

звідки b² = 8.

Отже, рівняння шуканої поверхні

або

Відповідь.