§8. Двопорожнинний гіперболоїд

Означення 8.1. Двопорожнинним, гіперболоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат задається рівнянням

(22)

Це рівняння називається канонічним рівнянням двопорожнинного гіперболоїда, а відповідна система координат - канонічною системою координат.

Рівняння (22) можна записати і так:

= 1 (23)

Властивості двопорожнинного гіперболоїда.

1. Двопорожнинний гіперболоїд не проходить через початок координат.

2. Двопорожнинний гіперболоїд не перетинається з координатними осями ОХ і OY, а вісь OZ перетинає в двох точках C₁(0; 0; с), С₂(0; 0; -с), симетричних відносно початку координат. Ці точки називаються вершинами двопорожнинного гіперболоїда, а відрізок С₁ С₂ = 2с - його дійсною віссю.

3. Двопорожнинний гіперболоїд симетричний відносно всіх координатних площин, координатних осей і початку координат, оскільки всі змінні входять у його рівняння в парних степенях.

4. З рівняння (22) випливає, що 1, тобто

або

Отже, двопорожнинний гіперболоїд (22) розміщений зовні смуги, обмеженої площинами z = ± с, і складається з двох симетричних частин (рис. 23).

5. Якщо двопорожнинний гіперболоїд перетнута площиною z = h, > c, то в перерізі утвориться еліпс

Рис.23 розміри якого збільшуються зі збільшенням .

Якщо цю поверхню перетнути площинами у = h, паралельними до кординатної площини OXZ, то утворяться гіперболи;

уявні осі яких паралельні до осі ОХ (рис. 23).

Аналогічною буде ситуація і тоді, коли поверхню перетнути площинами, паралельними до площини OYZ.

Конус, рівняння якого = 0, також

тісно пов'язаний з двопорожнинним гіперболоїдом (22). Як і у випадку однопорожнинного гіперболоїда, ці поверхні не перетинаються, наближаються одна до одної, коли , тільки тепер цей конус цілком містить у собі двопорожнинний гіперболоїд (рис. 24). Тому такий конус називають асимптотичним конусом двопорожнинного