§ 7. Однопорожнинний гіперболоїд

Означення 7.1. Однопорожнинним гіперболоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат задається рівнянням

(19)

Це рівняння називається канонічним рівнянням однопорожнинного гіперболоїда, а система координат, в якій воно задане, - канонічною системою координат.

Властивості однопорожнинного гіперболоїда.

Аналізуючи рівняння (19), встановлюємо такі властивості даної поверхні:

1 Однопорожнинний гіперболоїд не проходить через початок координат.

2. Однопорожнинний гіперболоїд не перетинає вісь OZ, а дві інші осі перетинає в точках, симетричних відносно початку координат, а саме:

Якщо < b, то уявною віссю такої гіперболи є вісь OZ

Якщо > b, то уявною віссю є вісь ОХ.

Якщо = b, то в перерізі утворяться дві прямі,

що перетинаються: z = ± (рис. 20).

Аналогічні перерізи утворюються і при перетині однопорожнинного гіперболоїда площинами, паралельними до площини OYZ.

Розглянемо поряд з однопорожнинним гіперболоїдом (17) конічну поверхню, задану рівнянням

Ця поверхня не перетинається з однопорожнинним гіперболоїдом, бо система рівнянь несумісна

Рис. 20

Оскільки цей конус проходить через початок координат, який міститься всередині однопорожнинного гіперболоїда, то і весь конус міститься всередині однопорожнинного гіперболоїда. Якщо обидві поверхні перетнути площиною OXZ, рівняння якої у = 0, то в перетині з гіперболоїдом дістанемо гіперболу

а в перетині з конусом - дві прямі: z = ± , які будуть асимптотами цієї гіперболи (рис. 21). Можна показати, що ця властивість конуса, пов'язана з однопорожнинним гіперболоїдом, справедлива і при перетині будь-якою іншою площиною, що проходить через вісь OZ.

У зв'язку з цим даний конус називають асимптотичним конусом однопорожнинного гіперболоїда (рис. 22).

Рівняння = 1 і

також задають однопорожнинні гіперболоїди з головною віссю ОY та ОХ відповідно.

Приклад. Записати канонічне рівняння однопорожнинного гіперболоїда, якщо він перетинає площину OXY по колу x² + у² = 9, а площину OXZ - по

гіперболі= 1.

Рис.21

Розв'язання. Однопорожнинний гіперболоїд перетинає площину OXY по колу, тому його головною віссю є вісь OZ, а його рівняння має вигляд:

(21)

Ця поверхня перетинається з площиною OXY по еліпсу = 1 • Зіставляючи з даною лінією перетину

x²+y²=9, або дістанємо: a²=b²=9.

Тоді рівняння (21) набуде вигляду:

Рис.22

За умовою ця поверхня перетинається з площиною OXZ по гіперболі звідки випливає, що c²=10. Отже рівняння даного одно порожнинного гіперболоїда

Відповідь.