
Тема 6. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки.
П Рисунок 20
и радиусом основания
катится без проскальзывания по неподвижной
горизонтальной
поверхности. Определить скорость точки
,
если скорость центра
основания постоянна и равна
.
Решение.
Движение
конуса является сферическим. Мгновенная
ось вращения конуса совпадает с образующей
,
так
как скорости точек образующей равны
нулю (рис. 20).
Используя формулу (5), находим
угловую скорость вращения конуса
вокруг мгновенной оси вращения:
,
где
.
Тогда
.
Вектор угловой скорости
направлен по мгновенной оси вращения
от точки
к точке
.
Скорость
точки
определим
как вращательную скорость вокруг
мгновенной оси вращения:
,
где
;
.
Вектор
скорости точки
направлен
аналогично вектору скорости точки
,
т е. перпендикулярно плоскости
в
соответствии
с направлением угловой скорости вращения.
Ответ.
.
Пример
24. Используя
условие примера 23, найти ускорение точки
А.
Р
Рисунок 21.
Так как модуль
вектора угловой скорости постоянен, то
конец вектора
описывает окружность
постоянного радиуса, равного модулю
вектора угловой скорости
в горизонтальной плоскости. Угловую
скорость вращения
вектора
вокруг оси
определяем, как угловую
скорость вращения оси конуса вокруг
оси
:
,
где
,
.
Вектор
будет направлен противоположно
положительному направлению
оси
.
Вектор углового ускорения
геометрически равен скорости конца
вектора угловой скорости
.
Ее можно определить, как вращательную
скорость точки, радиус вращения которой
равен модулю угловой
скорости
:
.
Вектор углового ускорения
будет находиться в плоскости
,
приложен в неподвижной
точке и направлен в сторону положительного
направления оси
.
Ускорение
точки в сферическом движении равно:
.
По
формулам (7), (8) находим
и
:
,
где
— отрезок
перпендикуляра, опущенного из точки
на
вектор углового ускорения;
.
Вектор
,
перпендикулярный отрезку
,
находится
в плоскости
и
направлен в соответствии с угловым
ускорением, т. е. если смотреть с конца
вектора
,
то вектор
должен
вращаться
против хода часовой стрелки.
Вектор
осестремительного ускорения
равен
,
где
.
.
Вектор
направлен
по
к
мгновенной оси вращения:
,
,
.
Ответ.
.
Тема 8. Сложное движение твердого тела
Пример
25. По
платформе движется тележка со скоростью
.
Платформа
движется в ту же сторону со скоростью
.
Найти
скорость тележки (рис. 21)
Р
Рисунок 21
Ответ.
.
Пример
26.
Н
Рисунок 22,
скорость точки
,
лежащей на
оси конуса,
и направлена перпендикулярно
плоскости чертежа на читателя.
Решение.
Точка
при
вращении
конуса остается неподвижной.
Скорость точки
при
качении без скольжения равна
нулю. Мгновенная ось вращения проходит
по прямой
.
Абсолютная
угловая скорость вращения будет
направлена по мгновенной
оси вращения
.
Угловая
скорость вращения конуса вокруг оси
равна:
,
.
Вектор
будет направлен по
от
точки
к
точке
.
Угловая
скорость вращения конуса вокруг оси
равна:
.
Вектор
будет
направлен по оси
вниз
от точки
к
точке
.
Так как
,
то абсолютная угловая скорость равна:
.
Вектор
абсолютной угловой скорости направлен
по
от
точки
к точке
(рис.
22).
Ответ.
.
Пример
27. Кривошип
вращается
с постоянной
скоростью
и
приводит в движение колесо
(рис.
23).
Определить положение
мгновенной оси вращения и абсолютную
угловую скорость, если
,
,
,
.
Р
Рисунок 23:
.
Для определения положения
мгновенной оси вращения составим
пропорцию:
,
,
,
,
.
Следовательно,
мгновенная ось вращения будет проходить
через
точку соприкосновения подвижного
и неподвижного
колес
(рис. 23).
Ответ.
,
.
Пример
28. Кривошип
длины
вращается
с угловой скоростью
и приводит во вращение колесо радиуса
(рис.
24). Угловая скорость колеса
вокруг оси, проходящей через точку
равна
.
Определить
абсолютную угловую
скорость.
Р
Рисунок 24
и кривошипа вокруг
оси, проходящей в точке
,
направлены в разные
стороны, то
.
Абсолютная угловая
скорость
направлена в сторону большей
угловой скорости и находится за осью,
проходящей через точку
:
,
,
,
,
,
.
Мгновенная ось вращения находится на расстоянии 20 см, т. е. в точке Р, которая является мгновенным центром скоростей в плоском движении колеса (рис. 24).
Ответ.
,
.
Пример
29. Колесо
катится без скольжения по горизонтальному
прямолинейному
рельсу (рис. 25). Скорость центра колеса
,
радиус
,
относительная угловая скорость
.
Найти
результирующее движение и положение
мгновенной оси вращения.
Р Рисунок 25
.
Расстояние между осями
будет равно
.
Ответ.
Мгновенная
ось вращения будет проходить через
точку
Р.
Пример
30. По
образующей цилиндра радиуса
движется тело с
постоянной скоростью
(рис. 26). Определить вид движения
тела и шаг винта, если цилиндр вращается
с постоянной угловой
скоростью
.
Решение. Составим уравнение движения точки М в декартовой системе координат:
Рисунок 26
,
,
где
.
Тогда
,
,
— это уравнения винтовой
линии в параметрическом
виде. Шаг винта равен:
.
Ответ.
Движение
тела винтовое,
.