2. Свойства степенных рядов.

Пусть функция является суммой степенного ряда

, (6)

интервал сходимости которого (— R, R).

В этом случае говорят, что на интервале (— R, R) функция f(х) разлагается в степенной ряд (или ряд по степеням х).

Имеют место две теоремы о свойствах степенных рядов, которые приведем без доказательства.

Теорема 4. Если функция f (х) на интервале (—R, R) разлагается в степенной ряд (6), то она дифференцируема на этом интервале и ее производная может быть найдена почленным дифференцированием ряда (6), т. е.

Аналогично могут быть вычислены производные любого порядка функции f(х). При этом соответствующие ряды имеют тот же интервал сходимости, что и ряд (6).

Теорема 5. Если функция f (х) на интервале ( — R, R) разлагается в степенной ряд (6), то она интегрируема в интервале ( — R, R) и интеграл от нее может быть вычислен почленным инте­грированием ряда (6), т. е. если , то

Представляет интерес интегрирование степенного ряда (6) по отрезку [0, х], где :

В этом случае опять получаем степенной ряд, который имеет тот же интервал сходимости, что и ряд (6).

Сформулированные теоремы дифференцирования и интегриро­вания степенных рядов имеют важное значение. Далее они неодно­кратно используются.

Отметим, что в ряде случаев рассматриваются степенные ряды более общего вида:

. (7)

Ряд вида (7) приводится к виду (1) заменой переменной .

Если функция f(х) является суммой ряда (7), то в этом случае говорят, что функция f(х) разлагается в ряд по степеням .

Все изложенное полностью переносится и на ряды вида (7). Для простоты записи последующие рассуждения проводятся для рядов вида (1) .

3. Ряды Маклорена и Тейлора.

Как показывает следующая теорема, разложение функции в степенной ряд един­ственно.

Теорема 6. Если функция f(х) на интервале ( — R, R) разлагается в степенной ряд

, (8)

то это разложение единственно.

Доказательство. По условию ряд (8) сходится на ин­тервале ( — R, R) и функция f(х) — его сумма. Следовательно, на основании теоремы 14.14 ряд (8) можно почленно дифференци­ровать на интервале ( — R, R) любое число раз. Дифференцируя, получаем

Полагая в полученных равенствах и в равенстве (8) , имеем

откуда находим

(9)

Таким образом, все коэффициенты ряда (8) определяются единст­венным образом формулами (9), что и доказывает теорему.

Подставляя полученные выражения коэффициентов в равенство (8) , получаем

Итак, если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд имеет вид

(10)

Ряд (10) называется рядом Маклорена для функции f(х).

Пусть теперь f(х) — произвольная бесконечно дифференциру­емая функция. Для нее можно составить ряд (10). Установим, при каких условиях сумма ряда (10) совпадает с функцией f(х). Ответ на этот вопрос можно получить с помощью формулы Маклорена. Из математического анализа известно, что для любой бесконечно дифференци­руемой функции справедлива формула Маклорена

,

где остаточный член

. (11)

Если обозначить через частичную сумму ряда Маклорена, то формулу Маклорена можно записать так:

. (12)

Имеет место следующая теорема.

Теорема 7. Для того чтобы ряд Макларена (10) схо­дился на (— R, R) и имел своей суммой функцию f(x), необходимо и достаточно, чтобы на (—R, R) остаточный член R_n(x) формулы Маклорена (11) стремился к нулю при , т. е. для любого .

Доказательство. Необходимость. Пусть функция f(x) — сумма ряда Маклорена на

(— R, R), т. е. . Тогда из равенства (12) следует, что для любого .

Достаточность. Пусть для любого . Тогда из равенства

(12) следует, что , т. е. . Это и означает, что ряд Маклорена (10) сходится на (— R, R) и его сумма равна f(х). Теорема доказана.

Из теоремы вытекает, что вопрос о разложении функции в ряд Маклорена сводится к исследованию поведения остаточного члена R_n(x) при .

Если в ряде Маклорена рассматривать значение функции в окрестности произвольной точке х = a, в которой f(х) имеет необходимое число производных, то разложение f(х) в окрестности точки a называется рядом Тейлора: