Тема 2.1. Числовые ряды (продолжение). Знакочередующиеся ряды.

1. Знакочередующиеся ряды.

2.Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.

3. Абсолютная и условная сходимость рядов.

Конспект лекции

1. Знакочередующиеся ряды.

До сих пор мы рассматривали ряды с неотрицательными чле­нами. Ряды с неположительными членами отличаются от соответ­ствующих рядов с неотрицательными членами только множите­лем — 1, поэтому вопрос об их сходимости решается аналогично.

Перейдем теперь к рассмотрению знакочередующихся рядов, члены которых имеют чередующиеся знаки. Для удобства будем считать, что первый член такого ряда положителен. Тогда знако­чередующийся ряд можно записать в виде

(1)

где .

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий очень простой достаточный признак сходимости.

2. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.

Теорема 1. Если абсолютные величины членов знакочере­дующегося ряда (1) монотонно убывают и об­щий член ряда стремится к нулю:, то ряд сходится.

Доказательство. Пусть дан ряд (1) и пусть и при . Рассмотрим частичную сумму ряда с четным числом членов

.

Все разности в скобках в силу первого условия положительны, поэтому последовательность частичных сумм является воз­растающей. Докажем, что она ограничена. Для этого представим в виде

.

Отсюда следует, что для любого , т. е. ограни­чена.

Итак, последовательность возрастающая и ограниченная,

следовательно, она имеет предел .

Покажем теперь, что и последовательность частичных сумм не­четного числа членов сходится к тому же пределу . Действительно, . Переходя в этом равенстве к пределу при и используя второе условие ( при ), полу­чаем

.

Таким образом, последовательность частичных сумм ряда (1) сходится к пределу . Это и означает, что ряд (1) сходится. Теорема доказана.

Пример. Ряд сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница:

1) ; 2) . Заметим, что этот ряд отли­чается от гармонического ряда только знаками четных членов.

3. Абсолютная и условная сходимость рядов

Рассмотрим теперь ряды с членами произвольных знаков. Та­кие ряды называются знакопеременными рядами. Возьмем какой-нибудь знакопеременный ряд

, (1)

где числа могут быть как положительными, так и отрицательными, причем расположение положительных и отрицательных членов в ряде произвольно. Одновременно рассмо­трим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):

. (2)

Для знакопеременных рядов имеет место следующий признак сходимости.

Теорема 2. Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).

Доказательство. Пусть ряд (2) сходится. Обозначим через частичную сумму ряда (1), а через частичную сумму ряда (2):; . Так как ряд (2) сходится, то последова­тельность его частичных сумм имеет предел ,

при этом для любого имеет место неравенство

, (3)

поскольку члены ряда (2) неотрицательны.

Обозначим через сумму положительных членов, а через сумму модулей отрицательных членов, содержащихся в сумме . Тогда

, (4)

. (5)

Очевидно, последовательности и не убывают, а из ра­венства (5) и неравенства (3) следует, что они являются ограни­ченными: и . Следовательно, сущест­вуют и . Но в таком случае, в силу равенства (4), последовательность частичных сумм ряда (1) имеет предел

.

Это означает, что ряд (1) сходится. Теорема доказана.

Пример 1. Ряд 1-1/2²-1/3²+1/4²+1/5²-1/6²-1/7²+... согласно доказанному признаку сходится, так как сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: 1+ 1/2²+1/3²+1/4²+1/5²+1/6²+1/7² + ... (см. пример 6 из ч. 2).

Рассмотренный признак сходимости знакопеременного ряда яв­ляется достаточным, но не необходимым, так как существуют зна­копеременные ряды, которые сходятся, а ряды, составленные из абсолютных величии их членов, расходятся. Так, например, ряд согласно признаку Лейбница сходится (см. пример из § 3), а ряд ,

составленный из абсолютных величин его членов, расходится (гармонический ряд).

Поэтому все сходящиеся ряды можно разделить на абсолютно и условно сходящиеся.

К абсолютно сходящимся рядам относятся сходящиеся ряды, для которых ряды, составленные из абсолютных величин их чле­нов, также сходятся.

К условно сходящимся рядам относятся сходящиеся ряды, для которых ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.

Пример 2. Ряд 1 — 1/2 + 1/4—1/8+1/16—1/32 + ... абсо­лютно сходящийся, так как ряд, составленный из абсолютных величин 1 + 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32 + ..., также схо­дится. (Оба ряда — геометрические прогрессии со знаменателями, соответственно равными —1/2 и 1/2).

Пример 3. Ряд условно сходя­щийся, так как сам он сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин , расходится (см. пример 6 из § 2).

Заметим, что деление сходящихся рядов на абсолютно и условно сходящиеся существенно. Дело в том, что абсолютно сходящиеся ряды обладают рядом важных свойств, тогда как условно сходя­щиеся ряды некоторыми из этих свойств не обладают. Например, для условно сходящихся рядов сумма ряда не равна сумме поло­жительных и сумме отрицательных членов ряда, как это имеет место для абсолютно сходящихся рядов, что было показано при доказательстве теоремы 10.

Контрольные вопросы

Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд.

Задача №1 Задача №2

Задача №3 Задача №4

Задача №5 Задача №6