Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

М2 , ч.2---- Лекции -------- Ряды.doc

Скачиваний:

Добавлен:

28.10.2018

Размер:

1.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

3. Необходимое условие сходимости ряда.

При рассмотрении рядов возникают две задачи: 1) исследовать ряд на сходимость и

2) зная, что ряд сходится, найти его сумму.

Будем решать в основном первую задачу, имеющую теоретический характер. Приведем необходимое условие сходимости рядов.

Теорема 4. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т. е. .

Доказательство. По условию ряд сходится. Обозначим через его

сумму. Рассмотрим частичные суммы ряда и . Отсюда . Так как и при , то

Теорема доказана.

Условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости

ряда.

Пример. Рассмотрим ряд

который называют гармоническим рядом. Очевидно, что для гармонического ряда выполнено необходимое условие сходимости, так как . Докажем, что этот ряд расходится.

Действительно, если бы этот ряд сходился, то, обозначая его сумму через , мы бы имели

Но

т. е. . Отсюда следует, что равенство невозможно, т. е. гармонический ряд расходится.

Таким образом, если общий член ряда стремится к нулю, то еще нельзя сделать вывод о сходимости ряда. Необходимо дополнительное исследование, которое может быть проведено с помощью достаточных условий (признаков) сходимости ряда.

Если же для некоторого ряда его общий член не стремится к нулю, то теорема 4 позволяет сразу сказать, что такой ряд расходится.

4. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.

Перейдем теперь к рассмотрению некоторых достаточных условий сходимости рядов с неотрицательными членами. Предварительно докажем теорему, которая будет использована в последующих рассуждениях.

Теорема 5. Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился,

необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.

Доказательство. Необходимость. Пусть ряд сходится. Это значит, что последовательность его частичных сумм имеет предел. В силу теоремы о сходящихся последовательностях всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Достаточность. Пусть последовательность частичных сумм ряда ограничена.

Так как ряд с неотрицательными членами, то его частичные суммы образуют неубывающую последовательность: В силу теоремы 2.12 о монотонных ограниченных последовательностях она сходится, т е сходится ряд . Теорема доказана.

Достаточные условия сходимости ряда.

Установим ряд признаков, позволяющих сделать вывод о сходимости (расходимости) рассматриваемого ряда.

Признак сравнения.

Теорема. 6. Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и и для всех выполняется неравенство . Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Доказательство. Обозначим через и соответственно частичные суммы рядов и . Из неравенства следует, что

. (7)

Если ряд сходится, то по теореме 14.5 (необходимость) последовательность его частичных сумм ограничена, т.е. для любого , где — некоторое число. Но тогда по формуле (7) и , откуда по той же теореме 14.5 (достаточность) следует, что ряд сходится.

Если же ряд расходится, то ряд также расходится, так как,

допустив сходимость ряда , получим по только что доказанному сходимость ряда , а это противоречит условию теоремы. Теорема доказана.

Пример 1. Ряд сходится, так как сходится ряд из членов геометрической прогрессии , а члены данного ряда не больше соответствующих членов ряда сходящейся геометрической прогрессии:.

Пример 2. Ряд расходится, поскольку его члены не меньше членов гармонического ряда , а гармонический ряд расходится.

Существуют признаки сходимости рядов, позволяющие непосредственно судить о сходимости (или расходимости) данного ряда, не сравнивая его с другим рядом, о котором известно, сходится он или расходится. Рассмотрим два из них.

Признак Даламбера.

Теорема 7. Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел . Тогда a) при ряд сходится; б) при ряд расходится.

Доказательство. а) Пусть и . Докажем,

что ряд сходится. По определению предела числовой последовательности для любого существует номер такой, что при выполняется неравенство . Отсюда следует, что

(8)

Так как , то можно взять настолько малым, что будет выполнено неравенство . Полагая , на основании правого из неравенств (8) имеем

, или

для Придавая эти значения, из последнего неравенства получаем

т. е. члены ряда

(9)

меньше соответствующих членов ряда, составленного из элементов геометрической прогрессии:

(10)

Так как , то ряд (10) сходится (см. пример 3 из ч.1). Тогда согласно признаку сравнения ряд (9) также сходится. Но ряд (9) получен из данного ряда в результате отбрасывания конечного числа первых членов, следовательно, по теореме 1 ряд сходится.

б) Пусть теперь . Докажем, что ряд расходится.

Возьмем настолько малым, чтобы . Тогда при в силу левого из неравенств (8) выполняется неравенство или . Таким образом, члены ряда, начиная с некоторого номера , возрастают с увеличением их номеров, т. е. общий член ряда не стремится к нулю при . Следовательно, согласно теореме 4 ряд расходится. Теорема доказана.

Замечание. При , как показывают примеры, ряд может, как сходиться, так и расходиться. В этом случае необходимо дополнительное исследование ряда с помощью признака сравнения или других признаков.

Пример 3. Ряд сходится, так как

Пример 4. Ряд расходится, так как

Пример 5. Рассмотрим ряд . Имеем . Согласно признаку Даламбера сделать заключение о сходимости или расходимости ряда нельзя. Однако, как было показано ранее (см. пример 2), этот ряд расходится.

Интегральный признак.

Теорема 8. Пусть дан ряд

члены которого являются значениями некоторой функции , положительной, непрерывной и убывающей на полуинтервале . Тогда, если сходится, то сходится и ряд ; если же расходится, то ряд расходится.

Доказательство. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции , с боковых сторон прямыми , снизу осью Ох Впишем в эту трапецию и опишем около нее две ступенчатые фигуры, состоящие из прямоугольников с основаниями и высотами (рис. 214). Тогда, принимая во внимание геометрический смысл определенного интеграла, имеем

, или, короче,

Отсюда получаем

, (11)

, (12)

где — частичные суммы рассматриваемого ряда.

Пусть интеграл сходится. Это значит, что существует .

Так как , то последовательность возрастает с увеличением и ограничена сверху своим пределом:

. Из неравенства (11) следует, что , т. е. последовательность частичных сумм ряда ограничена. По теореме 14.5 ряд сходится.

Пусть теперь интеграл расходится. В этом

случае при (как монотонно возрастающая неограниченная последовательность). Из неравенства (12) следует, что при , т. е. последовательность частичных сумм ряда расходится и, следовательно, ряд расходится. Теорема доказана.

Пример 6. Рассмотрим ряд С помощью интегрального признака выясним поведение данного ряда при . Возьмем в качестве функции функцию которая удовлетворяет условиям теоремы 8. Члены ряда равны значениям этой функции при Как известно несобственный интеграл при сходится, а при расходится. Следовательно, данный ряд сходится при и расходится при .

Заметим, что при такие ряды также расходятся, так как их общий член не стремится к нулю при , т. е. нарушается необходимое условие сходимости ряда (см. теорему 4).