2. Совместное распределение нескольких случайных величин

▼ Пусть имеется n случайных величин Назовем функцией распределения вектора X = () функцию n переменных

где пробегает множество всех возможных значений случайного вектора X.

Как и в случае функции распределения случайной величины, функция распределения случайного вектора однозначно определяет Xдля любого n-мерного множества A.

Функцию распределения случайного вектора называют также совместной функцией распределения случайных величин . Эта функция обладает следующими свойствами:

1.

2. не убывает по каждой переменной.

3. непрерывна слева по каждой переменной.

4. для любого i=1, 2,…, n.

5. если все n аргументов этой функции распределения стремятся к

Отметим, что если только один из аргументов этой функции, скажем стремится к бесконечности, то в пределе получится функция распределения случайного вектора, который получается из исходного вектора отбрасыванием компоненты

Говорят, что случайный вектор X имеет дискретное распределение, если он принимает конечное или счетное число значений. Для дискретного случайного вектора X, как и в случае дискретной случайной величины, можно ввести дискретную плотность распределения, определяемую равенством

С помощью дискретной плотности распределения можно вычислять вероятности событий вида {Х для любого n-мерного множества A. Действительно, P(Х) = Здесь сумма распространяется на значения случайного вектора X, принадлежащие множеству A.

Дискретная плотность распределения обладает двумя очевидными свойствами:

1. для всех значений случайного вектора X.

2. где суммирование распространяется на все значения случайного вектора X.

Говорят, что n-мерный случайный вектор X имеет непрерывное (абсолютно непрерывное) распределение, если существует такая функция n переменных , что функция распределения вектора X может быть представлена в виде

=

Из этой формулы следует, что плотность распределения случайного вектора можно получить из его функции распределения с помощью формулы

При наличии плотности распределения смешанная производная n-го порядка существует.

Плотность распределения случайного вектора, как и плотность распределения случайной величины, обладает двумя определяющими свойствами: 1) она неотрицательна; 2) интеграл от нее по всему n-мерному пространству равен единице.

С помощью плотности распределения можно вычислять вероятности событий, связанных с данным случайным вектором, по формуле

Здесь A является множеством n-мерного пространства и для краткости записи знак обозначает n-мерный интеграл.

Случайные величины , составляющие случайный вектор X, называются независимыми, если их совместную функцию распределения можно разложить в произведение функций распределения компонент вектора X, т. е.

=

Если случайный вектор X обладает дискретной или непрерывной плотностью распределения, то независимость его компонент равносильна свойству: совместная плотность распределения (непрерывная или дискретная) случайного вектора X равна произведению плотностей распределения компонент, т. е.

Можно показать, что если некоторые случайные величины независимы, то независимы также и функции от них.

Рассмотрим вопрос о том, как из плотности распределения двумерного вектора получить плотность распределения его компонент.

В случае дискретного распределения двумерного вектора для дискретной плотности распределения его первой компоненты легко получить формулу где суммирование распространяется на все значения случайной величины Y. Естественно, в непрерывном случае сумма заменяется интегралом, что приводит к формуле Здесь обозначает плотность распределения случайной величины X, p(x,y) обозначает совместную плотность распределения случайных величин X и Y. Эти соотношения естественным образом распространяются на векторы больших размерностей. ▲

Задача 2.1. В ящике два шара, на каждом из которых написана цифра 1, и три шара, на каждом из которых написана цифра 2. Один за другим наудачу вынимают два шара. Пусть X – это номер на первом шаре, Y – номер на втором шаре. Найти совместную дискретную плотность распределения случайных величин X и Y и P(Y = 2).

Решение. Использовав формулу умножения вероятностей, получим

Поступая аналогично для вычисления других вероятностей, получим таблицу

(x, y)	(1, 1)	(1, 2)	(2, 1)	(2, 2)
P((X, Y) = (x, y))	1/10	3/10	3/10	3/10

P(Y = 2) = p(1, 2) + p(2, 2) = 3/5.

Задача 2.2. Из хорошо перемешанной полной колоды, состоящей из 36 карт, вытаскивают одну карту. Случайная величина X равна единице, если вытащенная карта красная, и равна нулю, если она черная. Случайная величина Y равна единице, если вытащенная карта туз, двойке, если она – король, и тройке, если вытащенная карта не является тузом или королем. Являются ли случайные величины X и Y независимыми?

Решение. Проверим определение независимости для случайных величин X и Y, а именно то, что = :

Таким образом, .

Для других значений X и Y условие независимости проверяется аналогично.

Задача 2.3. X и Y независимые случайные величины, имеющие стандартное равномерное распределение. Найти плотность распределения p(x) случайной величины Z = max(X, Y).

Решение. Случайные величины X и Y имеют функцию распределения

В силу независимости случайных величин X и Y их совместная функция распределения Далее,

Чтобы найти плотность распределения случайной величины Z, достаточно продифференцировать это равенство. Таким образом,

Задача 2.4. Из единичного квадрата случайным образом выбирается точка. Ее координаты (A, B) рассматриваются как две случайные величины. Являются ли они независимыми случайными величинами? Рассмотрим квадратное уравнение Найти вероятность того, что оно имеет вещественные корни.

Решение.

Отсюда следует, что = и, следовательно, случайные величины A и B независимы. Исследовав квадратное уравнение из условия задачи, придем к выводу, что оно имеет вещественные корни, если его дискриминант неотрицателен, т. е. Поскольку точка (A, B) имеет равномерное распределение в единичном квадрате, то вероятностьравна площади под графиком функции т. е. интегралу

Задача 2.5. Совместная плотность распределения случайных величин X и Y равна Для других значений аргументов эта плотность равна нулю. Определить плотность распределения случайной величины X.

Решение. Искомая плотность распределения для равна