6. Нелінійні системи (побудова перехідного процесу по фазовій траєкторії).

Точки фазовой плоскости, где сходятся (или откуда расходятся) фазовые траектории, называются особыми точками.

7. Нелінійні системи (побудова фазових траєкторій методом ізоклін).

Построение фазовых траектория нели­нейных АСР можно выполнить также ме­тодом изоклин. Для этого сначала на фазовой плоскости строят линии, соответствующие алгебраическому уравнению

Каждому значению с (рис. 2.47) соот­ветствует своя линия, называемая изоклиной. Изоклина — это геометрическое место точек с одинаковым наклоном фазовых траекторий, проходящих через эти точки, т. е. для точек изоклины

Используя свойство изоклин (2.188), фа­зовые траектории строят в следующем порядке. Берут произвольную точку М₁ на изоклине с₁ и из нее проводят две прямые до пересечения с изоклиной с₂, Первую прямую проводят под углом arctic, соот­ветствующим углу наклона фазовых траекто­рий в точках изоклины с₁. Вторую прямую проводят под углом arctgс₁, соответствую­щим углу наклона фазовых траекторий в точках изоклины с₂. Точка М_г на изоклине с₂ находится как середина пересечения изо­клины с₂ с обеими прямыми. Далее ана­логичным образом из точки М₂ проводят две прямые с углами наклона arctgс₂ и arctg с₃ до пересечения с изоклиной с₃, на которой находят точку М₃. Поступая анало­гичным образом, находят ряд точек M₃, соединив которые, получают фазовую тра­екторию АСР.

Отличительной особенностью фазовых портретов нелинейных АСР является наличие в них замкнутых фазовых траекторий, на­зываемых предельными циклами, которым соответствуют автоколебания. Предельные циклы бывают устойчивыми, полуустойчивыми и неустойчивыми.

Устойчивый предельный цикл соответ­ствует устойчивым автоколебаниям, он ха­рактеризуется тем, что фазовые траектории накручиваются на него с обеих сторон (рис. 2.48, а). Полуустойчивый предельный цикл характеризуется тем, что фазовые тра­ектории накручиваются на него с одной сто­роны и скручиваются с другой (рис. 2.48,6). Для неустойчивого предельного цикла фазо­вые траектории скручиваются с него с обеих сторон (рис. 2.48,в). Фазовый портрет нели­нейных АСР может иметь несколько предельных циклов (рис. 2.48,г).

Фазовый портрет нелинейных АСР, опи­сываемых дифференциальными уравнениями не выше второго порядка, лает полное пред­ставление о динамике нелинейной системы при детерминированных воздействиях, вклю­чая точность, устойчивость и качество регулирования.

По фазовой траектории можно по­строить переходный процесс. Для этого поступают следующим образом (рис 2.49):

а) вычерчивают фазовую траекторию;

б) выбирают временной шаг Δt( построе­ния у (t) = у (nΔt), где л — целое число;

в) определяют угол β= 2 arctg (Δt/2);

г) из точки у (t)=у₀. определяемой на­чальными условиями, проводят прямую под углом α=90° — β/2 до пересечения с фазо­вой траекторией в точке b₁,

д) из точки b₁ проводят прямую под углом β до пересечения с осью у в точке a₁;

е) точку a₁ проецируют в плоскости y(t) в точку d₁;

ж) из точки а, проводят прямую под углом α=90° — β/2 до пересечения с фазовой траекторией в точке b₃;

з) из точки bi проводят прямую под углом р до пересечения с осью у в точке а₂;

и) точку а₂ проецируют в плоскости у (t) в точку d₁ поступая аналогичным образом, находят точки d, искомой y(t).

По построенному таким образом пере­ходному процессу y(t) можно достаточно объективно оценить качество регулирования в нелинейной АСР при различных начальных условиях.