Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ГОС_ответы.doc
Скачиваний:
36
Добавлен:
27.10.2018
Размер:
21.59 Mб
Скачать

22 Моделювання. Загальносистемна модель функціонування систем. Моделі систем: безперервна, лінійна, безперервна лінійна, дискретна.

Если система существует в некоторой среде, то система взаимодействует с окружающей ее средой. В этом взаимодействии можно выделить воздействия среды на систему и воздействия системы на среду.

Воздействие среды на систему интерпретируется исследователем как входное воздействие. Обычно исследователя интересует функционирование системы в некоторый определённый промежуток времени T=[t0,t1]. Входное воздействие на систему в момент времени t обозначим x(t). Тогда можно сказать, что на вход системы в течении промежутка времени T поступит множество входных воздействий, этот факт принято обозначать в виде множества входных воздействий:

,

которое будем называть входным процессом.

В течение рассматриваемого периода времени, система будет воздействовать на внешнюю среду. Введём понятие выходного воздействия, обозначив его через y(t). Тогда выходным процессом назовём множество всех выходных воздействий:

.

Подавая на вход системы различные входные процессы и измеряя выходной процесс, исследователь получает возможность установить существующую между ними связь в виде соотношения:

, (1)

которое связывает для каждого момента времени значения входных и выходных воздействий. Это уравнение называют уравнением "вход-выход".

Попытка построить модель функционирования системы с помощью уравнений типа "вход-выход" часто оказывается неудачной по причине отсутствия однозначной зависимости между входными и выходными процессами.

Совокупность внутренних, существенных для функционирования свойств системы в момент времени t, назовем состоянием системы и обозначим через z(t). Если в модели учесть состояние системы, то можно записать новое соотношение:

. (2)

Состояние z(t) представляет совокупность существующих свойств системы, знание которых в настоящем позволяет определить ее поведение в будущем.

Если удается из соотношения (2) получить уравнение вида:

, (3)

то G называют оператором выходов, а уравнение (3) – уравнением выходов. Из уравнения (3) можно полностью определить выходной процесс, если нам известно начальное состояние системы и входной процесс. Это уравнение описывает системы без предыстории, т.е. системы, функционирование которой в настоящем не зависит от того, как эта система функционировала в прошлом.

Если удается из уравнения (2) получить уравнение вида:

(4)

то Н – называют оператором перехода, а уравнение (4) – уравнением состояния системы.

Уравнения (3) и (4) позволяют описать функционирование системы траекториями ZT и YT, каждая точка которых характеризует для некоторого момента времени tT состояние системы z(t) и значение выходного воздействия y(t). Конкретный вид обеих траекторий определяется входным процессом XT, начальным состоянием z(t0), операторами G и H.

Рис.3.1.

Таким образом, по уравнениям (3) и (4) и известным входным процессам и начальному состоянию может предсказать поведение системы в любой момент времени, выходы и состояние.

Рассматривая модель функционирования системы, мы не оговаривали количества входных и выходных воздействий. В реальных системах они как правило многомерные и их можно представлять как векторы:

x(t)=(x1(t), x2(t), . . ., xN(t));

y(t)=(y1(t), y2(t), . . ., yM(t));

Каждая компонента может принимать некоторое допустимое значение, т.е.

x1(t)X1, x2(t)X2, . . ., xN(t)XN;

y1(t)Y1, y2(t)Y2, . . ., yM(t)YM.

Декартовы произведения

XN = X1 X2 . . . XN;

YM = Y1 Y2 . . . YM;

образуют пространства входных и выходных воздействий. Всякие входные и выходные вектора входят в эти пространства. Однако следует понимать, что не все они являются допустимыми. Например, по условиям эксперимента или по техническим характеристикам системы некоторые значения x1(t), x2(t), . . ., xN могут оказаться несовместимыми. Таким образом, вводятся множества допустимых значений XXN и YYM. Аналогичными рассуждениями можно ввести множество допустимых состояний системы ZZK. Иногда в теоретических исследованиях вводят декартово произведение

WK+M = ZK YM,

которое содержит множество векторов w(t)=(z(t),y(t)), определяющих состояние и выход системы в каждый момент времени tT. Пространство WK+M называют пространством функционирования системы, а траекторию в нем точки w(t) ‑ процессом функционирования.

Введя основные понятия о функционировании систем можно записать общую для любых систем модель функционирования в виде кортежа:

M=<T,XXN,YYM,ZZK G,H>

где T ‑ время, на протяжении которого исследуется система;

Х ‑ множество допустимых входных воздействий, включённых в N-мерное пространство входных воздействий;

Y ‑ множество допустимых выходных воздействий, включённых в М-мерное пространство выходных воздействий;

Z ‑ множество допустимых состояний системы, включённых в K-мерное пространство состояний;

H ‑ оператор перехода;

G ‑ оператор выхода;

Указанные множества, пространства, операторы могут обладать различными свойствами, отсюда возможно широкое множество моделей систем. В практике и теории сложились несколько классов таких системных моделей, некоторые из которых мы изучим.

В общесистемной модели функционирования операторы перехода и выхода имеют вид:

Это означает, что z(t) и y(t) являются функциями не только и состояния и входа, но и самого интервала Т. Поэтому при одних и тех же значениях z(t0) и X, перемещая по оси времени интервал t0 t можно получить различные z(t) и y(t). Если перемещение интервала t0 t на временной оси не влияет на процесс функционирования системы, то система называется стационарной и её уравнения имеют вид:

Ранее каждой паре вход-состояние операторы H и G ставили в соответствие единственные значения y(t) и z(t), т.е. мы рассматривали системы, которые называются детерминированными.

Если y(t) и z(t) – случайные величины с заданными законами распределения вероятностей, то система называется стохастической.

Распространённый, хотя и не всегда обеспечивающий достаточную точность, метод анализа стохастических систем заключается в замене случайных величин y(t) и z(t) их математическими ожиданиями.

Если интервал времени функционирования системы t0<t< t1 представляет собой отрезок оси действительных чисел, то говорят, что система функционирует в непрерывном времени. Если, кроме того, непрерывны операторы G и H, то система называется непрерывной. Т.е., малые изменения входных воздействий к такого же порядка малым изменениям выходного воздействия и состояния системы.

Важнейшей особенностью непрерывных систем является возможность их единообразного описания с помощью дифференциальных и алгебраических уравнений. Большое множество непрерывных систем описывается дифференциальными уравнениями вида:

(5)

Первое из этих уравнений называется уравнением состояния, второе – уравнением выхода. Эти уравнения гораздо проще, ранее рассмотренных, поскольку содержат функции действительных переменных h(z,x,t) и g(z,x,t), а не операторы, определённые на множествах. Эти функции называются соответственно функцией перехода и функцией выхода

Важным классом непрерывных систем, являются линейные системы. Несмотря на то, что, большинство явлений и технических систем в действительности нелинейные по своей природе, однако часто удаётся выделить такие интервалы времени, участки рассмотренных пространств, где работоспособной оказывается линейная модель системы.

Пусть на интервале t0tT могут иметь место два множества входных воздействий X' и X" и в момент времени t0 система может иметь два различных состояния z'(t0) и z"(t0).

Если для указанных двух множеств входных воздействий и двух состояний системы определены операции сложения и умножения на постоянное число k, то можно рассмотреть входные процессы:

X=X'+X" и kX,

И состояния Z=Z'+Z" и kZ.

Тогда говорят, что операторы G и Н обладают свойством аддитивности, если:

G(T,z,X)=G(T,z',X')+G(T,z",X")

H(T,z,X)=H(T,z',X')+H(T,z",X")

и однородности, если

G(T,kz,kX)=kG(T,z,X).

Операторы G и Н являются линейными, если они одновременно и однородны и аддитивны. Система, описываемая линейными операторами G и Н, называется линейной.

Важность линейных систем заключается в том, что их операторы можно разлагать на составляющие и исследовать эти составляющие независимо.

Здесь a(t) и c(t) определяют переход системы в конечное состояние и выходное воздействие при нулевом начальном состоянии, а d(t) и b(t) – конечное состояние и выходные воздействия и нулевых входных воздействиях.

Многие системы не удовлетворяют условиям непрерывности, однако их можно отнести к так называемым дискретным системам.

Предположим, что интервал времени функционирования системы можно представить как дискретные моменты времени, т.е. время разбито на интервалы . Пусть все интервалы равны, т.е.

Тогда называют временем такта, а моменты t - тактами функционирования системы.

Поскольку для определения такта функционирования системы достаточно указать номер такта , то можно представить входы, выходы и состояния системы следующим образом:

,

,

.

Процесс функционирования системы можно записать с помощью операторов перехода и выходов:

,

,

где и , соответственно, состояние и вход системы, определяемый относительно момента .

Если предположить, что состояние системы изменяется не сразу, а с некоторой задержкой относительно входного воздействия, измерение выхода осуществляется мгновенно и операторы H и G являются функциями действительных переменных h и g, то систему уравнений можно записать:

,

.

Таким образом, если нам известно начальное состояние системы z(0), то мы имеем рекуррентные выражения для описания (вычисления) процесса функционирования системы.

Если функции h и g линейны, т.е. аддитивны и однородны, то получаем уравнения для линейной дискретной системы:

Дискретные системы, обладающие свойством стационарности, называются автоматами. Для таких систем функции h и g не зависят от моментов времени или номеров тактов:

Таким образом, состояние автомата на данном такте определяется состоянием и входом на предыдущем такте, а выход автомата на данном такте зависит от состояния и входа на этом же такте