22 Моделювання. Загальносистемна модель функціонування систем. Моделі систем: безперервна, лінійна, безперервна лінійна, дискретна.

Если система существует в некоторой среде, то система взаимодействует с окружающей ее средой. В этом взаимодействии можно выделить воздействия среды на систему и воздействия системы на среду.

Воздействие среды на систему интерпретируется исследователем как входное воздействие. Обычно исследователя интересует функционирование системы в некоторый определённый промежуток времени T=[t₀,t₁]. Входное воздействие на систему в момент времени t обозначим x(t). Тогда можно сказать, что на вход системы в течении промежутка времени T поступит множество входных воздействий, этот факт принято обозначать в виде множества входных воздействий:

,

которое будем называть входным процессом.

В течение рассматриваемого периода времени, система будет воздействовать на внешнюю среду. Введём понятие выходного воздействия, обозначив его через y(t). Тогда выходным процессом назовём множество всех выходных воздействий:

.

Подавая на вход системы различные входные процессы и измеряя выходной процесс, исследователь получает возможность установить существующую между ними связь в виде соотношения:

, (1)

которое связывает для каждого момента времени значения входных и выходных воздействий. Это уравнение называют уравнением "вход-выход".

Попытка построить модель функционирования системы с помощью уравнений типа "вход-выход" часто оказывается неудачной по причине отсутствия однозначной зависимости между входными и выходными процессами.

Совокупность внутренних, существенных для функционирования свойств системы в момент времени t, назовем состоянием системы и обозначим через z(t). Если в модели учесть состояние системы, то можно записать новое соотношение:

. (2)

Состояние z(t) представляет совокупность существующих свойств системы, знание которых в настоящем позволяет определить ее поведение в будущем.

Если удается из соотношения (2) получить уравнение вида:

, (3)

то G называют оператором выходов, а уравнение (3) – уравнением выходов. Из уравнения (3) можно полностью определить выходной процесс, если нам известно начальное состояние системы и входной процесс. Это уравнение описывает системы без предыстории, т.е. системы, функционирование которой в настоящем не зависит от того, как эта система функционировала в прошлом.

Если удается из уравнения (2) получить уравнение вида:

(4)

то Н – называют оператором перехода, а уравнение (4) – уравнением состояния системы.

Уравнения (3) и (4) позволяют описать функционирование системы траекториями Z_T и Y_T, каждая точка которых характеризует для некоторого момента времени tT состояние системы z(t) и значение выходного воздействия y(t). Конкретный вид обеих траекторий определяется входным процессом X_T, начальным состоянием z(t₀), операторами G и H.

Рис.3.1.

Таким образом, по уравнениям (3) и (4) и известным входным процессам и начальному состоянию может предсказать поведение системы в любой момент времени, выходы и состояние.

Рассматривая модель функционирования системы, мы не оговаривали количества входных и выходных воздействий. В реальных системах они как правило многомерные и их можно представлять как векторы:

x(t)=(x₁(t), x₂(t), . . ., x_N(t));

y(t)=(y₁(t), y₂(t), . . ., y_M(t));

Каждая компонента может принимать некоторое допустимое значение, т.е.

x₁(t)X₁, x₂(t)X₂, . . ., x_N(t)X_N;

y₁(t)Y₁, y₂(t)Y₂, . . ., y_M(t)Y_M.

Декартовы произведения

X^N = X₁  X₂  . . .  X_N;

Y^M = Y₁  Y₂  . . .  Y_M;

образуют пространства входных и выходных воздействий. Всякие входные и выходные вектора входят в эти пространства. Однако следует понимать, что не все они являются допустимыми. Например, по условиям эксперимента или по техническим характеристикам системы некоторые значения x₁(t), x₂(t), . . ., x_N могут оказаться несовместимыми. Таким образом, вводятся множества допустимых значений XX^N и YY^M. Аналогичными рассуждениями можно ввести множество допустимых состояний системы ZZ^K. Иногда в теоретических исследованиях вводят декартово произведение

W^K+M = Z^K  Y^M,

которое содержит множество векторов w(t)=(z(t),y(t)), определяющих состояние и выход системы в каждый момент времени tT. Пространство W^K+M называют пространством функционирования системы, а траекторию в нем точки w(t) ‑ процессом функционирования.

Введя основные понятия о функционировании систем можно записать общую для любых систем модель функционирования в виде кортежа:

M=<T,XX^N,YY^M,ZZ^K G,H>

где T ‑ время, на протяжении которого исследуется система;

Х ‑ множество допустимых входных воздействий, включённых в N-мерное пространство входных воздействий;

Y ‑ множество допустимых выходных воздействий, включённых в М-мерное пространство выходных воздействий;

Z ‑ множество допустимых состояний системы, включённых в K-мерное пространство состояний;

H ‑ оператор перехода;

G ‑ оператор выхода;

Указанные множества, пространства, операторы могут обладать различными свойствами, отсюда возможно широкое множество моделей систем. В практике и теории сложились несколько классов таких системных моделей, некоторые из которых мы изучим.

В общесистемной модели функционирования операторы перехода и выхода имеют вид:

Это означает, что z(t) и y(t) являются функциями не только и состояния и входа, но и самого интервала Т. Поэтому при одних и тех же значениях z(t₀) и X, перемещая по оси времени интервал t₀ t можно получить различные z(t) и y(t). Если перемещение интервала t₀ t на временной оси не влияет на процесс функционирования системы, то система называется стационарной и её уравнения имеют вид:

Ранее каждой паре вход-состояние операторы H и G ставили в соответствие единственные значения y(t) и z(t), т.е. мы рассматривали системы, которые называются детерминированными.

Если y(t) и z(t) – случайные величины с заданными законами распределения вероятностей, то система называется стохастической.

Распространённый, хотя и не всегда обеспечивающий достаточную точность, метод анализа стохастических систем заключается в замене случайных величин y(t) и z(t) их математическими ожиданиями.

Если интервал времени функционирования системы t₀<t< t₁ представляет собой отрезок оси действительных чисел, то говорят, что система функционирует в непрерывном времени. Если, кроме того, непрерывны операторы G и H, то система называется непрерывной. Т.е., малые изменения входных воздействий к такого же порядка малым изменениям выходного воздействия и состояния системы.

Важнейшей особенностью непрерывных систем является возможность их единообразного описания с помощью дифференциальных и алгебраических уравнений. Большое множество непрерывных систем описывается дифференциальными уравнениями вида:

(5)

Первое из этих уравнений называется уравнением состояния, второе – уравнением выхода. Эти уравнения гораздо проще, ранее рассмотренных, поскольку содержат функции действительных переменных h(z,x,t) и g(z,x,t), а не операторы, определённые на множествах. Эти функции называются соответственно функцией перехода и функцией выхода

Важным классом непрерывных систем, являются линейные системы. Несмотря на то, что, большинство явлений и технических систем в действительности нелинейные по своей природе, однако часто удаётся выделить такие интервалы времени, участки рассмотренных пространств, где работоспособной оказывается линейная модель системы.

Пусть на интервале t₀tT могут иметь место два множества входных воздействий X' и X" и в момент времени t₀ система может иметь два различных состояния z'(t₀) и z"(t₀).

Если для указанных двух множеств входных воздействий и двух состояний системы определены операции сложения и умножения на постоянное число k, то можно рассмотреть входные процессы:

X=X'+X" и kX,

И состояния Z=Z'+Z" и kZ.

Тогда говорят, что операторы G и Н обладают свойством аддитивности, если:

G(T,z,X)=G(T,z',X')+G(T,z",X")

H(T,z,X)=H(T,z',X')+H(T,z",X")

и однородности, если

G(T,kz,kX)=kG(T,z,X).

Операторы G и Н являются линейными, если они одновременно и однородны и аддитивны. Система, описываемая линейными операторами G и Н, называется линейной.

Важность линейных систем заключается в том, что их операторы можно разлагать на составляющие и исследовать эти составляющие независимо.

Здесь a(t) и c(t) определяют переход системы в конечное состояние и выходное воздействие при нулевом начальном состоянии, а d(t) и b(t) – конечное состояние и выходные воздействия и нулевых входных воздействиях.

Многие системы не удовлетворяют условиям непрерывности, однако их можно отнести к так называемым дискретным системам.

Предположим, что интервал времени функционирования системы можно представить как дискретные моменты времени, т.е. время разбито на интервалы . Пусть все интервалы равны, т.е.

Тогда  называют временем такта, а моменты t_ - тактами функционирования системы.

Поскольку для определения такта функционирования системы достаточно указать номер такта , то можно представить входы, выходы и состояния системы следующим образом:

,

,

.

Процесс функционирования системы можно записать с помощью операторов перехода и выходов:

,

,

где и , соответственно, состояние и вход системы, определяемый относительно момента .

Если предположить, что состояние системы изменяется не сразу, а с некоторой задержкой относительно входного воздействия, измерение выхода осуществляется мгновенно и операторы H и G являются функциями действительных переменных h и g, то систему уравнений можно записать:

,

.

Таким образом, если нам известно начальное состояние системы z(0), то мы имеем рекуррентные выражения для описания (вычисления) процесса функционирования системы.

Если функции h и g линейны, т.е. аддитивны и однородны, то получаем уравнения для линейной дискретной системы:

Дискретные системы, обладающие свойством стационарности, называются автоматами. Для таких систем функции h и g не зависят от моментов времени или номеров тактов:

Таким образом, состояние автомата на данном такте определяется состоянием и входом на предыдущем такте, а выход автомата на данном такте зависит от состояния и входа на этом же такте