Линейное уравнение

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка неоднородным называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид

, (53)

где заданные функции и определены и непрерывны в интервале . Наряду с неоднородным рассматривается линейное однородное уравнение.

. (54)

Всякое решение линейного уравнения есть частное решение, особых решений линейное уравнение не имеет, поскольку в области

всегда выполняются условия существования и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения с непрерывными коэффициентами P, Q (53).

Методы интегрирования линейного уравнения

1. Метод мультипликативной подстановки Бернулли. Мультипликативная подстановка (34), предложенная в 1693г. Лейбницем для интегрирования однородного уравнения была обобщена его ближайшими последователями, братьями Бернулли (и самим Г.В. Лейбницем) в работах 1696–1697гг. на случай линейного уравнения в виде

, , (55)

где и некоторые неизвестные функции.

Следуя методу, запишем уравнение (53) и дифференциалах и применим подстановку(55)

.

Считая, например, функцию v неизвестной, а функцию u произвольной, сгруппируем второй и третий члены в левой части вышенаписанного равенства

. (56)

Выберем функцию и так, чтобы выражение в квадратных скобках уравнения (56) обращалось в нуль

. (54)

Это линейное однородное уравнение относительно неизвестной функции и является также уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, квадратурой, потенцируя

, ,

находим искомую функцию

. (57)

Постоянную интегрирования здесь не пишем, так как достаточно в качестве функции взять какое-нибудь отличное от нуля частное решение уравнения (54).

Подставим найденную функцию (57) в уравнение (56). Так как в этом уравнении выражение в квадратных скобках равно нулю, получим уравнение с разделяющимися переменными v и х

Разделяя переменные, квадратурой, находим вторую искомую функцию

. (58)

Возвращая выражения (57) и (58), соответственно для функций u и v, в подстановку (55), получаем общее решение уравнения (53) в рассматриваемой области G

. (59)

Его можно переписать в форме Коши

. (60)

Из формулы (60) видно, что всякое решение однородного уравнения является непрерывно дифференцируемой функцией как зависимой переменной х, так и начальных данных х₀ и у₀.

2. Метод интегрирующего множителя Эйлера. Особенно широкое развитие метод интегрирующего множителя получил в работах Эйлера 1768–1769гг., в которых был установлен ряд классов дифференциальных уравнений первого порядка, обладающих множителем данного вида.

Для линейного уравнения (53) выполнено условие существования интегрирующего множителя, зависящего только от х. В самом деле (проверим условие 1 формула (50))

, ,

, следовательно .

Следуя методу, умножим обе части уравнения (53) на интегрирующий множитель, найденный выше

.

Так как левая часть этого равенства представляет собой производную произведения, то

,

или в полных дифференциалах

.

Интегрируя последнее равенство, получаем

,

откуда искомое общее решение уравнения (53)

. (59)

3. Метод вариации произвольной постоянной Лагранжа. Этот метод был детально разработан Лагранжем в 1766–1777гг.

Обратимся к линейному однородному уравнению (54)

. (54)

Из формулы (54) видно, что однородное линейное уравнение всегда имеет тривиальное нулевое решение , которое не представляет практического интереса, хотя является одним из частных решений. В области G нетрудно получить общее решение уравнения (54) в виде

, (60)

или в форме Коши

. (61)

Все решения однородного линейного уравнения (54) содержатся в формуле общего решения (60) или (61). Любое ненулевое решение однородного линейного уравнения целиком расположено или выше или ниже оси Ох. Если у₁ – ненулевое решение уравнения (54), то есть общее решение этого уравнения.

Следуя методу, зная решение однородного уравнения (54), будем искать общее решение неоднородного уравнения (53) в виде

, (62)

где – некоторая непрерывно дифференцируемая функция х. Для определения функции подставим выражение (62) в данное неоднородное уравнение (53) (по сути осуществим замену специального вида (62) неизвестной функции у), предварительно вычисляя производную

.

После подстановки и приведения подобных, приходим к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными С и х

.

Интегрируя, получаем

,

здесь новая произвольная постоянная снова обозначена через С. В результате подстановки полученного значения в равенство (62), находим общее решение данного неоднородного линейного уравнения

, (63)

которое совпадает с решением (59). Из вида (63) следует важное предложение. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (53) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (60) и частного решения неоднородного уравнения, получающегося, например, из формулы (63) при .

Заметим, что при практическом рассмотрении конкретных примеров не рационально пользоваться готовыми формулами (59), (63). Важно владеть методами их получения.

Примеры.

41. . Это линейное уравнение, будем искать его общее решение методом Бернулли в виде (55)

, .

Подставим выражения для у и у' в данное уравнение и перегруппируем его, выделив квадратными скобками условие для нахождения первой искомой функции

,

.

Из условия , разделяя переменные, квадратурой получаем

, , ;

здесь не пишем константу интегрирования, так как достаточно любого частного решения при нахождении первой функции. Подставляя частное решение в промежуточное уравнение, с учетом того, что выражение в квадратных скобках обращается в нуль, приходим к уравнению для определения второй искомой функции

, ,

общее решение которого и есть вторая искомая функция

.

Следовательно, общее решение данного уравнения

.

42. , .

Применим метод Эйлера, поскольку очевиден для данного уравнения интегрирующий множитель ((50) условие 1)

.

Умножая обе части данного уравнения на , получим

.

Так как в левой части производная произведения, квадратурой вычисляем общий интеграл уравнения

, .

Используя начальные условия, из общего интеграла получаем для нахождения константы С уравнение

, откуда ;

следовательно, решение поставленной задачи Коши

, .

43. , .

Согласно методу вариации постоянной, рассмотрим соответствующее однородное уравнение

, или ,

квадратурой находим его общее решение

, .

Далее ищем решение неоднородного уравнения в виде

.

Подставляя это выражение в данное уравнение, находим

, , .

Следовательно, общее решение данного уравнения есть

.

Из общего решения, используя начальные условия, определяем постоянную интегрирования и получаем решение поставленной задачи Коши

.

44. . Это нелинейное уравнение, однако, линейным является перевернутое уравнение, если рассматривать х как функцию от у

.

В соответствии с методом вариации произвольной постоянной, решаем соответствующее однородное уравнение

, , , .

Будем искать решение перевернутого уравнения в виде

,

где – неизвестная функция от у. Подставляем это выражение в неоднородное (перевернутое) уравнение

, .

Отсюда, интегрируя по частям первое слагаемое, имеем

.

Подставляя найденное выражение для неизвестной функции С в искомый вид решения, получаем общее решение перевернутого уравнения, а, значит, общий интеграл данного уравнения

.

45. . Это нелинейное уравнение, умножая обе его части на и делая замену , приводим данное уравнение к линейному относительно новой неизвестной функции

.

Следуя методу Лагранжа, сначала находим общее решение соответствующего однородного уравнения

, , , ,

а затем, варьируя постоянную интегрирования С, находим общее решение (интегрированием по частям) неоднородного промежуточного уравнения

, ;

; .

Возвращаясь к старым переменным, запишем общий интеграл данного уравнения

.