Методи оптимізації 2

1. Задача лінійного програмування. Її властивості 2

2. Критерій оптимальності базисного розв’язку ЗЛП 3

3. Двоїсті задачі лінійного програмування. Теореми двоїстості. 3

4. Задача опуклого програмування. Теорема Куна-Такера. 5

5. Метод найшвидшого спуску. 7

6. Оптимальні чисті стратегії у матричній грі. Теорема про мінімакс. 8

Методи оптимізації

1. Задача лінійного програмування. Її властивості

Однією з найважливіших задач оптимізації є задача математичного програмування, що полягає в пошуку екстремуму (максимуму чи мінімуму) функції при умовах .

Якщо функції , - лінійні, а область X задається обмеженнями виду , то вказана задача називається задачею лінійного програмування (ЗЛП). Приклади задач лінійного програмування: задача про харчовий раціон (задача про дієту), задача розподілу ресурсів, задача про перевезення (транспортна задача).

Загальну задачу лінійного програмування (ЗЗЛП) визначимо наступним чином.

Знайти вектор , який мінімізує (максимізує) лінійну функцію (1)

та задовольняє системі лінійних обмежень

(2) (3)

де символ Ri замінює один з знаків , , 

Обмеження (3) наз. прямими обмеженнями та не включаються в число співвідношень (2).

Сукупність точок x, які задовольняють (2) та (3), наз. допустимою областю (множиною) ЗЛП, яку ми будемо записувати також у вигляді

Довільну точку назвемо допустимим розв’язком (точкою, вектором, планом).

Назвемо також цільовою функцією L(x) співвідношення (1), а допустиме значення, яке доставляє мінімум (максимум) цільової функції - оптимальним розв’язком ЗЛП:

При цьому будемо називати оптимальним значенням цільової функції.

Властивості допустимої області злп

Нехай . Опуклою лінійною оболонкою точок назвемо сукупність точок , де - довільні числа, які задовольняють співвідношенню.

Б-я точка опуклої лін оболонки наз опуклою лін комбінацією точок .

Частинним випадком (r=2) цього визначення є наступна конструкція. Назвемо відрізком опуклу лінійну оболонку точок чи формально

W - опукла множина, якщо для довільних точок відрізок . Множина наз. півпростором в , а множина - гіперплощиною в .

Лема 1. Перетин опуклих множин - опукла множина.

Лема 2. Півпростір є опуклою множиною.

Лема 3. Гіперплощина є опуклою множиною.

Багатогранною множиною назвемо перетин скінченого числа півпросторів. Обмежену багатогранну множину назвемо багатогранником. Доп. множина D ЗЛП є багатогранною множиною.

Теорема Допустима множина D ЗЛП є опуклою багатогранною множиною (опуклим багатогранником розв’язків - обмеженим чи необмеженим).

Точка х опуклої множини наз кутовою (крайньою), якщо її не можна представити у вигляді

Властивості розв’язків злп

Нехай D - непорожня та є обмеж. багатогранником.

Лема4. Довільна точка опуклого обмеженого багатогранника є опуклою лінійною комбінацією його вершин..

Теорема Цільова функція ЗЛП досягає оптим-ого значення в вершині багатогранника розв’язків. Якщо цільова функція приймає оптимальне значення більше ніж в одній точці, то вона досягає того ж значення в довільній точці, що є їх опуклою комбінацією.

2. Критерій оптимальності базисного розв’язку злп

СЗЛП. Шукається хEⁿ: L(x) = ⁿ_j=1 c_j x_j  min (1)

ⁿ_j=1 a_ij x_j= b_i , i = 1,...,m (2)

x_j  0, j = 1,n (k  n) (3)

Ненульовий допуст. розв’язок х задачі (1)-(3) наз. базисним розв’язком (БР), якщо система векторів умов А_j, що відповідають додатнім компонентам х є лінійно незалежною. Оскільки rang A = m, то максимальна кількість лін. незалежних векторів умов = m,  максимальна кількість додатніх компонент базисного розв’язку = m.

Базисний розв’язок наз. невиродженим, якщо кількість додатніх компонент дорівнює m, і виродженим, якщо кількість додатніх компонент < m. Розглянемо невироджений БР, позначимо його через x=( x₁, x₂,..., x_m,0,...,0). x_i>0, i=1,m. Вектори умов А₁, А₂,...,А_m - лінійно незалежні. Вони формують базис, що породжує відповідний БР, утворюють базисну матрицю (А₁,...,А_m)=В, яка визначається однозначно. Розглянемо вироджений БР, x=(x₁,x₂,...,x_к,0,...,0).

k<n; А₁,...,А_k - лінійно незалежні. Вони не будуть формувати базис. Базисом у цьому випадку є довільна система m лін. незал. векторів умов, що містить А₁,...,А_k. Матриця визначається неоднозначно.

Змінні, що відповідають лінійно незалежним векторам, наз. базисними.

Теорема Кронекера-Капелі Допустимий розв’язок х ЗЛП є вершиною допустимої множини  коли х є базисним розв’язком.

Нехай _k= c_k – ^m_i=1 c_i_ik - симплекс-різниця, що відповідає змінній x_k.

Теорема (Критерій оптимальності БР ЗЛП). Якщо для деякого БР х* ЗЛП симплекс різниці _j  0 (j=1,n), то х* - оптимальний розв’язок ЗЛП.