- •Дискрегна математика
- •1. Зліченні та незліченні множини. Континуальні множини. Потужність множини. Теореми Кантора.
- •2. Відношення та їх властівості. Відношення еквівалентності та часткового порядку. Фактор-множина.
- •3. Зв’язаність і планарність графів. Методи перевірки зв’язності і критерії планарності графів.
- •4. Сполуки, перестановки, розміщення. Поліноміальна теорема.
- •5. Канонічні форми бульових функцій. Алгебра Жегалкіна.
- •6.Повнота і замкненість систем бульових функцій. Теорема (критерій) Поста.
- •Чудові класи замкнених ф-цій
6.Повнота і замкненість систем бульових функцій. Теорема (критерій) Поста.
С-ма бульових ф-цій {f1,f2,…,fn} наз. функціонально повною с-мою бульових ф-цій, якщо довільну бульову ф-цію F(x1,x2,...,xn) можна виразити як суперпозицію ф-цій f1,f2,…,fn та ф-цій x1,x2,...,xn
Озн. Клас (м-на) ф-цій наз. замкненим, якщо довільна суперпозиція ф-цій цього класу також належить цьому класу.
f1,f2,…,fn є S => є F(f1,f2,…,fn) є S
С-ма бульових ф-цій P2 наз. функціонально повною с-мою бульових ф-цій, якщо довільну бульову ф-цію можна виразити через ф-ції м-ни за допомогою суперпозиції або запишимо так []s=P2.
Озн. Клас ф-цій наз. Замкненим, якщо замикання []s=
Чудові класи замкнених ф-цій
Т0—ф., що зберігає 0. fТ0, якщо f(0,0,0...0)=0
Т1— ф., що зберігає конст. 1. fТ1, якщо f(1,1,1,...1)=1 / (f* - двоїста до f)
С — клас самодвоїстих ф-цій. fС, якщо f* = f. / (якщо f*(x)=f(notx))
М — клас монотонних ф-цій. f є М, якщо для довіл. кортежів АB випливало
f(А) f(В)
L—клас лінійних ф-цій. fL, якщо f=a1x1a2x2... anxn an+1
Назва БФ |
Позн. |
Т0 |
Т1 |
М |
L |
C |
константа 0 |
0 |
+ |
- |
+ |
+ |
- |
константа 1 |
1 |
- |
+ |
+ |
+ |
- |
заперечення |
x¬y |
- |
- |
- |
+ |
+ |
кон’юнкція |
xy |
+ |
+ |
+ |
- |
- |
диз’юнкція |
xy |
+ |
+ |
+ |
- |
- |
додав. за модулем 2 |
xy |
+ |
- |
- |
+ |
- |
еквіваленція |
x~y |
- |
+ |
- |
+ |
- |
імплікація |
xa y |
- |
+ |
- |
- |
- |
штрих Шефера |
x|y |
- |
- |
- |
- |
- |
стрілка Пірса |
xy |
- |
- |
- |
- |
- |
Теорема (ПОСТА про функціональну повноту). Для того, щоб с-ма б.ф. була функ. повною н. і д., щоб вона не містилася цілком в жодному з 5 чудових замкнених класів. Або н. і д., щоб вона містила принаймні 1 ф-цію, яка
1) не зберігає конст.0
2) не зберігає конст.1
3) не є монот.
4) не є лінійн.
5) не є самодвоїстою.
С-ма буде функ. Повною, якщо кожен стовпчик таблиці має принаймні один "-".
Доведення:
Від супротивного. Нех , - функіонально повна система К – один з класів, , виконується також, що такого не може бути, бо
Задовільняє умову теореми і неміститься в жодному з класів
будемо зводити до
3 етапи:
-
За допомогою ; ,
б) за лемою, яка має такий зміст: (Нех. , тоді шляхом підстановки замість її змінних х або можна одержати одну з бульових констант), маємо насамперед функ. , та функ. Заперечення , отримуємо одну з констант , другу константу отримаємо підстановкою в заперечення.
2. в лемі про: (якщо , шлях підстановки , то з функ х а також конст 0 та 1 можна отримати функ ), ми будуємо функцію заперечення
3. за лемою (якщо , що шляхом підстановки замість деяких змінних 0 або 1 можна отримати нелін функ від 2-х змінних ), маємо ,