29. Представление булевых функций формулами.

Функции называются выражением, описывающие суперпозицию элементарных функций.

Суперпозицией будем называть функцию f, полученную в результате подстановок функций друг в друга и переименования переменных. Переменные, от которых зависит функция называют формулами имеющими глубину 0.

f(x1x2). Функция зависящая от переменных формулой глубины 1. Соответственно функция f(f1,f2..fn) будет иметь глубину k если она зависит от функций глубины k-1.

Для записи формул используют знаки операций(конъюнкция, сложение по модулю 2, Стрелка Пирса, импликация и тд).

Обычно для булевых функций используется инфиксная запись.

Функция каждому набору аргументов ставит в соответствие значение и следовательно может служить способом описания функции. Табличное представление функции является единственным способом. Для задания функции формулой можно использовать различные записи.

30. Представление булевых функций формулами. Примеры.

Функции называются выражением, описывающие суперпозицию элементарных функций.

Суперпозицией будем называть функцию f, полученную в результате подстановок функций друг в друга и переименования переменных. Переменные, от которых зависит функция называют формулами имеющими глубину 0.

f(x1x2). Функция зависящая от переменных формулой глубины 1. Соответственно функция f(f1,f2..fn) будет иметь глубину k если она зависит от функций глубины k-1.

Для записи формул используют знаки операций(конъюнкция, сложение по модулю 2, Стрелка Пирса, импликация и тд).

Обычно для булевых функций используется инфиксная запись.

Функция каждому набору аргументов ставит в соответствие значение и следовательно может служить способом описания функции. Табличное представление функции является единственным способом. Для задания функции формулой можно использовать различные записи.

31. Разложение булевых функций по переменным. Теорема.

Пусть x^={x, если =0; x, если =1;}.

Ф-и вида х_i1^i1 х_i2^i2 …х_ik^ik=K наз. элементарной коньюнкцией. Сумма элеменнтарных коньюнкций наз. дизъюктивной нормальной формой: ^t_i=1K_i.

Ф-ции вида х_i1^i1 х_i2^i2 …х_ik^ik=D наз. элементарной дизъюнкцией. Произведение эл. дизъюнкций наз. коньюктивной нормальной формой: &^t_i=1 D_i.

Теорема о разложении бул. ф-ций по переменным: Любую бул. ф-цию можно представить в виде: f(x₁, x₂, …x_n)= f(₁, …_k ,x_k+1, …,x_n) (1). (Разложение функции по первым к переменным).

Док-во: f(₁, ₂, …_n)=f(₁, …_k ,x_k+1, …,x_n)=f(₁, ₂, …_n). В правой части (1) коэф. при ф-и f будет равен 1 только в единственном случае, когда _i=_i =x_i (i=1,k).

Часные случаи:

1)Разложение по одной переменной:

f=(x₁, x₂, …x_n)=_1х₁^1 f(₁,x₂, …,x_n)=х₁⁰f(0,x₂, …,x_n) х₁¹f(1,x₂, …,x_n)= х₁f(0,x₂, …,x_n) х₁f(1,x₂, …,x_n).

2)Разложение по всем переменным:

f=(x₁, x₂, …x_n)=_{(1, 2,…, n)} х₁^1х₁^2…х₁^n f(₁, ₂,…,_n)=_{(1,…, n)(f(1,…, n)=1)} х₁^1х₁^2…х₁^n (2).

Такое представление наз. совершенной дизъюктивной нормальной формой (СДНФ). Представление ф-ции в виде СДНФ конструктивно и его можно построить по таблице истинности: выделяются строки, в которых строки принимают единичное значение и по каждой из них строится элементарная коньюнкция, которые затем складываются.

Если f=(x₁, x₂, …x_n)0, то ее также можно представить в виде ДНФ: f=(x₁, x₂, …x_n)=х₁х₁. Любую бул. ф-цию можно представить в виде ф-лы над мн-вом ф-ций D={&,,}, например, в виде ДНФ.