78. Концевые вершины и ребра.

Вершина v графа G называется концевой, или висячей, если ее степень равна 1. Инцидентное этой вершине ребро называется концевым. Если конечное дерево состоит более чем из одной вершины, оно имеет хотя бы две концевые вершины и хотя бы одно концевое ребро. Действительно, пусть v – вершина дерева G. Т.к. она связана с другими вершинами, из нее выходит хотя бы одно ребро. Если другой конец v этого ребра не является концевой вершиной, из него выходит еще одно ребро. Из другого его конца v выходит еще одно ребро и тд. Таким образом, строится цепь, проходящая все время через новые вершины. Иначе часть этой цепи оказалась бы циклом. Т.к. наше дерево конечно, процесс построения этой цепи должен закончиться, причем последнее ее ребро и одна из инцидентных ей вершин являются концевыми.

Если v – концевая вершина, она является и второй концевой вершиной дерева. Если же вершина v – не концевая, из нее выходит еще хотя бы одно ребро. Начиная с него, можно построить цепь, идущую из v в другую сторону, и в конце ее найти другую концевую вершину.

82. Цикломатическое число графа.

Пусть G — конечный неориентированный граф. Его цикломатическим числом на­зывается

,

где _с — число связных компонент графа; — число его ребер, а — число вершин. Цикломатическое число дерева равно нулю, цикломатическое число леса — сумме цикло-матических чисел своих связных компонент-деревьев, т. е. также равно нулю. Цикломатические числа остальных ко­нечных графов положительны. Так как цикломатическое число несвязного графа равно сумме цикломатических чисел связных компонент, достаточно рассмотреть связный граф О.

Если этот граф — дерево, его цикломатическое число равно нулю. В противном случае в графе G есть цикл

. Можно выбросить любое ребро этого цикла, и граф останется связным. Действительно, пусть

— маршрут, связывающий вершины и содержащий выброшенное ребро e_q цикла Z (если маршрут не содержит такого ребра, он связывает вершины и и в новом графе ). Это ребро можно заменить маршрутом , имеющим те же концы, что и само ребро.

Если в еще имеются циклы, можно выбросить следую­щее ребро, не нарушая связности, и т. д. В конце концов получится неориентированный связный граф без цик­лов, т. е. дерево (так как число вершин всех конструируе­мых графов не меняется, если оно больше еди­ницы, то все ребра выбросить нельзя). Число оставшихся ребер на единицу меньше числа вершин графа , а значит, и исходного графа G, но в последнем на ребер больше. Следовательно,

>0.

83. Ориентированные графы. Пути и циклы в ориентированном графе.

Орграфом G наз. пара мн-в (N,U), элементы N – вершины, элементы U – упорядоченые пары вершин наз. дугами (i,j)(j,i). Вершины (i,j) наз. смежными, если в G имеется дуга (i,j). При этом дугу (i,j) наз. инцедентной вершинам i и j. Вершину i наз. началом дуги, j – концом дуги. Две дуги, имеющие общую вершину наз. смежными. Понятие паралельных дуг как и у графов.

Орграф наз. простым, если он не имеет паралельных дуг. Будем предполагать, что мы работаем с простым огрграфом.

Полустепень захода d^-(i) – это число дуг, выходящих из i. ⁿ_i=1d^-(i)= ⁿ_i=1d⁺(i)=m (m – число дуг).

Орграф наз. полным, если (i,j) существуют дуги (i,j) и (j,i).

Понятия порождённого, остовного подграфа и просто подграфа аналогичны соотв. понятиям для графов. Последовательность вершин i₁, i₂,…, i_m наз. маршрутом, если (i_p,i_p+1), (i_p,i_p+1)U.

Последовательность вершин, такая, что  две соседние вершины в этой посл. смежные, наз. полумаршрутом. Понятие замкнутого маршрута аналогично известному.

Маршрут у к-го все дуги различны наз. путём. Полумаршрут, у к-го все дуги различны наз. полупутём. Замкнутый наз. контуром, полупуть – полуконтуром. Понятие простых путей и т.д. аналогичны известным.

Граф D=(N,W) лежит в основе орграфа G, если любые две вершины D смежны тогда и только тогда (неравные вершины), когда они смежны в G.

Способы задания орграфов.

Ориентированый граф можно задать списком дуг, матрицами смежности: a_ij={1,(i,j)U;0(i,j)U}, матрицей инцедентности (предполагается, что дуги перенымерованы: 1,…,m):{1,если из i выжодит дуга в j; -1,если из j в i; 1,петля; 0, иначе}.

Два графа наз. изоморфными, если  взаимо-однозн. соответсвие между их вершинами, сохраняющее смежность и ориентацию. Изоморфным ориентированым графам соотв. матрицы смежности, такие что одну из них можно пулучить одинаковым упорядочением строк и столбцов.