2.3. Метод Рунге-Кутта

Метод позволяет решать системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка следующего вида:

которые имеют решение:

где t - независимая переменная (например, время); X, Y и т.д. - искомые функции (зависимые от t переменные). Функции f, g и т.д. - заданы. Также предполагаются заданными и начальные условия, т.е. значения искомых функций в начальный момент.

Одно дифференциальное уравнение - частный случай системы с одним элементом. Поэтому, далее речь пойдет для определенности о системе уравнений. Метод Рунге-Кутта заключается в рекуррентном применении следующих формул:

11

где

Метод может быть полезен и для решения дифференциальных уравнений высшего (второго и т.д.) порядка, т.к. они могут быть представлены системой дифференциальных уравнений первого порядка [2].

БЛОК-СХЕМА ПРОГРАММЫ GLAV

1. Блок-схема модуля hord1 (процедура hord)

3.2 Блок-схема модуля zeid1 (процедура zeid)

3.3 Блок-схема модуля roonge1 (процедура roonge)

3. Описание стандартных функций

Используется процедура Clrscr стандартного модуля Crt [4]. Указанная процедура очищает экран и помещает курсор в его верхний левый угол. Действует процедура следующим образом: все символы заменяются на пробел с атрибутами, установленными в данный момент. Например, если цвет фона TextBackground не черный, то экран будет иметь цвет фона. Процедура выполняется в том окне, в котором она вызвана. Например, в случае

Window (1,1,60,20);

Clrscr;

Будет очищен прямоугольник 60*20, начинающийся в (1,1)

Следующие задействованные всеми создаваемыми модулями процедуры: Write (), Writeln (), Read (), Readln () стандартного модуля System [5]. Объявление этого модуля утилитой Uses не обязательно, он автоматически подключается программными средствами Pascal. Перечисленные операторы являются операторами ввода, вывода. Привлечение этих процедур открывает возможность многократного использования одной и той же программы для вычисления с различными исходными данными.

При выполнении оператора ввода Read() переменным присваиваются значения исходных данных.

Процедура Readln() выполняет процедуру Read(), после чего переходит на следующую строку. Readln() без параметров осуществляет переход на начало следующей строки без предварительного считывания.

С помощью процедур вывода Write() строится последовательность значений, которая является результатом выполнения программы. Параметр, заключенный в круглые скобки может содержать указания ширины поля и количества десятичных знаков. Выражения вывода могут быть следующих типов: char, integer, real, string, packet string или boolean. Процедура вывода, таким образом, позволяет выделить из всего набора вычисленных значений те, которые служат ответом к решавшейся при выполнении программой задаче.

Процедура Writeln() выполняет процедуру Write(), а затем осуществляет переход в начало следующей строки. Процедуры ввода и вывода часто применяют вместе. Например, для ввода трех чисел и вывода их суммы

Read (a,b,c);

х:= a+b+c;

Write(x);

Последней общей для всех модулей функцией является функция ReadKey, которая считывает символ с клавиатуры [5]. Она описана в стандартном модуле Crt. Возвращаемый тип данных – тип char. Функция ReadKey принимает значение считываемого символа, при этом символ не выводится на экран. Если до обращения к ReadKey значение KeyPressed было равно True, то считывание происходит незамедлительно. В противном случае программа ожидает ввода с клавиатуры. Для считывания кода, соответствующего специальным клавишам, к функции ReadKey необходимо обратиться два раза. (Под специальными, подразумеваются функциональные клавиши, клавиши управления курсором, клавиши, нажатые одновременно с Alt и т.д.). Первый раз функция ReadKey принимает значения #0, а во второй раз – значение расширенного кода, соответствующего данной специальной клавише. Значение #0 не может быть присвоено ReadKey никаким другим способом. Поэтому если ReadKey = #0, то следующее значение ReadKey обязательно должно трактоваться как расширенный код. Не смотря на то, что применение функции очень широко, однако чаще всего она используется для задержки программы при отладке. Пример применения функции

Ch: = ReadKey - возвращает считанный символ.

И, наконец, последняя, стандартная функция, используемая только в модуле myiter1. Это функция Abs() – возвращающая абсолютное значение аргумента. Она входит в состав стандартного модуля System. Возвращаемый тип данных тот же, что и у аргумента (real, integer).

Abs(x) - возвращает абсолютное значение х.