2.2 Решение систем линейных уравнений методом Зейделя

Для того чтобы применить метод Зейделя к решению системы линейных алгебраических уравнений

Ax = b

с квадратной невырожденной матрицей A, необходимо предварительно преобразовать эту систему к виду

x = Bx + c.

Здесь B – квадратная матрица с элементами b_ij (i, j = 1, 2, …, n), c – вектор-столбец с элементами c_ij (i = 1, 2, …, n).

В развернутой форме записи система имеет следующий вид:

x₁ = b₁₁x₁ + b₁₂x₂ + b₁₃x₃ + … + b_1nx_n + c₁

x₂ = b₂₁x₁ + b₂₂x₂ + b₂₃x₃ + … + b_2nx_n + c₂

. . . . . . . . . . . . . . . . .

x_n = b_n1x₁ + b_n2x₂ + b_n3x₃ + … + b_nnx_n + c_n

Вообще говоря, операция приведения системы к виду, удобному для итераций, не является простой и требует специальных знаний, а также существенного использования специфики системы.

Самый простой способ приведения системы к виду, удобному для итераций, состоит в следующем. Из первого уравнения системы выразим неизвестное x₁:

x₁ = a₁₁^–1 (b₁ – a₁₂x₂ – a₁₃x₃ – … – a_1nx_n),

из второго уравнения – неизвестное x₂:

x₂ = a₂₁^–1 (b₂ – a₂₂x₂ – a₂₃x₃ – … – a_2nx_n),

и т. д. В результате получим систему

x₁ = b₁₂x₂ +b₁₃x₃ + … +b_1,n–1x_n–1 +b_1nx_n+ c₁ ,

x₂ = b₂₁x₁ +b₂₃x₃ + … +b_2,n–1x_n–1 +b_2nx_n+ c₂ ,

x₃ = b₃₁x₁ +b₃₂x₂ + … +b_3,n–1x_n–1 +b_3nx_n+ c₃ ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

x_n = b_n1x₁ +b_n2x₂ + b_n3x₃ +… +b_n,n–1x_n–1 +c_n ,

в которой на главной диагонали матрицы B находятся нулевые элементы. Остальные элементы выражаются по формулам

b_ij = –a_ij / a_ii, c_i = b_i / a_ii (i, j = 1, 2, …, n, j ≠ i)

Конечно, для возможности выполнения указанного преобразования необходимо, чтобы диагональные элементы матрицы A были ненулевыми.

Введем нижнюю и верхнюю треугольные матрицы

0 0 0 … 0 0 b₁₂ b₁₃…b_1n

b₂₁ 0 0 … 0 0 0 b₂₃…b_2n

B₁ = b₃₁ b₃₂ 0 … 0 ,B­­₂ = 0 0 0 … b_3n

. . . . . . . . . . . . .

b_n1 b_n2 b_n3…0 0 0 0 … 0

Заметим, что B = B₁ + B₂ и поэтому решение x исходной системы удовлетворяет равенству

x = B₁x + B₂ x + c .

Выберем начальное приближение x⁽⁰⁾ = [x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾, …, x_n⁽⁰⁾]^T. Подставляя его в правую часть равенства при верхней треугольной матрице B₂ и вычисляя полученное выражение, находим первое приближение

x⁽¹⁾ = B₁x⁽⁰⁾ + B₂x⁽¹⁾

Подставляя приближение x⁽¹⁾, получим

x⁽²⁾ = B₁x⁽¹⁾ + B₂x⁽²⁾

Продолжая этот процесс далее, получим последовательность x⁽⁰⁾, x⁽¹⁾, …, x⁽ⁿ⁾, … приближений к вычисляемых по формуле

x^(k+1) = B₁^(k+1) + B₂^(k) + c

или в развернутой форме записи

x₁^(k+1) =b₁₂x₂^(k) + b₁₃x₂^(k) + … +b_1nx_n^(k) + c₁ ,

x₂^(k+1) =b₂₁x₁^(k+1) +b₂₃x₃^(k) + … +b_2nx_n^(k) + c₂ ,

x₃^(k+1) =b₃₁x₁^(k+1) +b₃₂x₂^(k+1) +… +b_3nx_n^(k) + c₃ ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x_n^(k+1) =b_n1x₁^(k+1) +b_n2x₂^(k+1) +b_n3x₃^(k+1) +… +c_n .

Объединив приведение системы к виду, удобному для итераций и метод Зейделя в одну формулу, получим

x_i^(k+1) = x_i^(k) – a_ii^–1(∑_j=1^i–1 a_ijx_j^(k+1) + ∑_j=1ⁿ a_ijx_i^(k) – b_i).

Тогда достаточным условием сходимоти метода Зейделя будет

∑_{j=1, j≠i} ⁿ | a­_ij | < | a­_ii |

(условие доминированния диагонали).

Метод Зейделя иногда называют также методом Гаусса-Зейделя, процессом Либмана, методом последовательных замещений. [2]