АННОТАЦИЯ

Курсовая работа по информатике на тему объектно-ориентированное программирование на примере численных методов выполнена по заданию №16: приближенное вычисление алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд, решение системы линейных уравнений методом Зейделя, решения дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта; выполнена студентом группы СРС-11 Самойловым Д.О., под руководством Артёмовой С.В.

Содержит 27 листов основного текста, 6 листов приложений.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ …………………….……………………………………...2

1 Постановка задачи …………...………..…………………………3

2 Математическое описание методов …..……………..………..4

2.1 Метод хорд при приближенном вычислении алгебраических и трансцендентных уравнений ……..…………..………………..……..…..4

2.2 Решение системных линейных уравнений методом Зейделя …………..6

2.3 Решение дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта………...10

3 Блок-схема программы GLAV………………...…….....……...12

3.1 Блок-схема процедуры mhord……………………………....….……..13

3.2 Блок-схема процедуры myzend……………….………….…….…......14

3.3 Блок-схема процедуры mykutt……….…………………....……….......16

4 Описание стандартных модулей….…….…..………………...18

5 Описание не стандартных модулей….…………..…………...21

6 Описание интерфейса…….……………………………………..22

7 Численные примеры …..………….…...………………………..23

Заключение…………………………….......………………………..26

Список используемой литературы…..………………………....27

Приложение…………………………………………..………….….28

ВВЕДЕНИЕ

Студентам, а также инженерам часто требуется решать задачи, которые связаны с численными методами: решением алгебраических и трансцендентных уравнений, нахождение корня алгебраического уравнения, нахождение решений дифференциальных уравнений.

Подобные задачи решаются с помощью численных методов, разработанных для решения математических задач при помощи вычислительной техники на таких языках программирования, как: QBASIC, TURBO PASCAL, C++, DELPHI, VISUAL BASIC и д.р. пакеты программ. В частности, математические пакеты MathCAD, Maple, MathLab также дают возможность решения аналогичных задач.

Необходимо учитывать, что вычислительная техника не способна без погрешности записывать такие величины как и т.д., погрешность может появляться и при вычислении, округлении и других операциях.

В некоторых случаях при вычислении необходимо предварительно математически преобразовать или переписать в другом виде функции, это может существенно снизить погрешность или в ряде случаев без преобразования не сходятся решения.

С помощью вычислительной техники можно решить и иные инженерные задачи, но с определенной погрешностью.

1. Постановка задач

Цель данного курсового проекта – научиться использовать методы структурного программирования на примере численных методов, в частности написание нескольких модулей и связь их в одну общую программу.

1.1. Составить программу приближённого вычисления алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд 2х-3sin(2x)-1=0 и описать выше указанный метод, составить блок-схему, описать стандартные и не стандартные функции, применяемые в задаче, описать интерфейс и привести пример.

1.2. Составить программу для решения системы линейный уравнений методом Зейделя. Описать выше указанный метод, составить блок-схему, описать стандартные и не стандартные функции, применяемые в задаче, описать интерфейс и привести пример.

1.3. Составить программу для решения дифференциальных ур-й методом Рунге-Кутта.

шаг 0.1

Описать выше указанный метод, составить блок-схему, описать стандартные и не стандартные функции, а так же интерфейс задачи.

2. Математическое описание методов

2.1. Метод хорд

Идея метода состоит в том, что по двум точкам и построить прямую (то есть хорду, соединяющую две точки графика ) и взять в качестве следующего приближения абсциссу точки пересечения этой прямой с осью . Иными словами, приближённо заменить на этом шаге функцию её линейной интерполяцией, найденной по двум значениям и . (Линейной интерполяцией функции назовём такую линейную функцию , значения которой совпадают со значениями в двух фиксированных точках, в данном случае -- в точках и ).

В зависимости от того, лежат ли точки и по разные стороны от корня или же по одну и ту же сторону, получаем такие чертежи:

Случай 1

рис 1

Случай 2

рис 2

Построение последовательного приближения по методу хорд

8

Итак, очередное последовательное приближение будет зависеть от двух предыдущих: . Найдём выражение для функции .

Интерполяционную линейную функцию будем искать как функцию с угловым коэффициентом, равным разностному отношению

построенному для отрезка между и , график которой проходит через точку :

Решая уравнение , находим

то есть

(1)

 

Заметим, что величина может рассматриваться как разностное приближение для производной в точке . Тем самым полученная формула (1) -- это разностный аналог итерационной формулы метода Ньютона.

Вычисление по формуле (1) гораздо предпочтительнее вычисления по другой полученной нами формуле

хотя эти две формулы математически тождественны, поскольку при использовании формулы (1) в случае вычислений с округлениями (например, на компьютере) достигается меньшая потеря значащих цифр.

Имеются две разновидности применения формулы (1).

Первая разновидность: вычисления ведутся непосредственно по формуле (1) при , начиная с двух приближений и , взятых, по возможности, поближе к корню . При этом не предполагается, что лежит между и (и что значения функции в точках и имеют разные знаки). При этом не гарантируется, что корень попадёт на отрезок между и на каком-либо следующем шаге (хотя это и не исключено). В таком случае затруднительно дать оценку погрешности, с которой приближает истинное значение корня , и поэтому довольствуются таким эмпирическим правилом: вычисления прекращают, когда будет выполнено неравенство , где-- желаемая точность нахождения корня. При этом полагают приближённое значение корня равным[1].