Весна 16 курс 3 ОрТОР / Гидравлика / lektsia__17

17. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ЗАТОПЛЕННОЕ ОТВЕРСТИЕ

17.1.. ДАВЛЕНИЯ НА СВОБОДНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ РАВНЫ АТМОСФЕРНОМУ

Рассматривая малое отверстие в тонкой стенке, из которого происходит истечение под уровень жидкости (рис. 17.1.)

Рис. 17.1.

Давления на свободные поверхности жидкости в резервуарах равны атмосферному p_а. Поверхности уровней как в правом, так и в левом резервуарах не изменяют своего положения с течением времени. Напишем уравнение Бернулли для сечений 1-1и 3-3 относительно плоскости сравнения, проходящей через центр отверстия параллельно свободным поверхностям в резервуарах.

z₁ + + = z₃+ + +h_W;

z₁ = H₁; = ; z₃ = H₂; = .

Пренебрегаем и вследствие их малости, так как площади поперечных сечений резервуаров Ω₁ ω и Ω₂ ω (ω – площадь малого отверстия).

После подстановок получим

H₁ – H₂ = h_W,

где H₁ – H₂=H; h_W = ζ_1-3 - гидравлические потери напора; ζ_1-3 - коэффициент сопротивления, учитывающий потери напора от сечения 1-1 до сечения 3-3; υ_с – средняя скорость течения в сжатом сечении с-с (2-2).

Потери напора между выбранными сечениями состоят из потерь при истечении из отверстия, т. е. от сечения 1-1 до сечения 2-2 (с-с) и от сечения 2-2

до сечения 3-3, где происходит внезапное расширение струи до существенного больших размеров

h_W = h_r0 + h_rвр.

Потери при истечении из отверстия

h_r0 = ζ .

Потери при внезапном расширении струи определяем по формуле Борда

h_rвр. = ,

где υ - скорость в резервуаре при расширении трубы, υ 0.

Потери напора

h_W = ζ + = (1 +ζ),

откуда скорость в сжатом сечении

υ_с =

или

υ_с = 𝜑.

Формула расхода для сжатого сечения при истечении через затопленное отверстие

Ω = ω_сυ_с = εφω = μω.

Полученная формула расхода аналогична формуле расхода для незатопленного отверстия. Различие формул заключается в том, что напор истечения H выражает разность уровней жидкости в резервуарах H₁ – H₂.

Установлено при проведении многочисленных опытов, что значения μ, φ для затопленного и незатопленного отверстий практически одинаковы. Поэтому в случае определения расхода или скорости через затопленное отверстие коэффициенты принимаются такими же, как и для незатопленного отверстия. На основании опытов разных авторов А. Альшулем был создан график коэффициентов φ, ε, μ в зависимости от числа Рейнольдса для малых круглых отверстий (рис. 16.2.2.).

17.2. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ В ТОНКОЙ СТЕНКЕ ПРИ ПЕРЕМЕННОМ НАПОРЕ

17. 2.1. ИСТЕЧЕНИЕ ПРИ ПЕРЕМЕННОМ НАПОРЕ В РЕЗЕРВУАРЕ.

Истечение при переменном напоре является примером неустановившегося движения. Истечение жидкости при переменном уровне встречается при опорожнении и наполнении резервуаров, цистерн, шлюзовых камер, бассейнов и других емкостей. Обычно в этом случае необходимо определить время опорожнения или наполнения емкости. Рассмотрим случай опорожнения резервуара через донное отверстие в атмосферу (рис. 16.1.2.1). Пусть резервуар призматического сечения и имеет площадь . Очевидно, движение жидкости будет неустановившимся, так как уровень е течением времени опускается, что вызывает постоянное уменьшение расхода. Выберем какой-то момент времени, в который уровень жидкости в резервуаре будет у.

Рис. 17.2.1

За бесконечно малый промежуток времени dt уровень жидкости уменьшится на величину dy (за этот промежуток времени движение можно считать установившимся). За это время вытечет объем жидкости, рав ный

dW = Qdt,

или

dW = μω dt

Выражая тот же объем жидкости через размеры резервуара, имеем

dW = -Ωdy.

Знак минус поставлен потому, что dy величина отрицательная (снижение уровня), а объем должен быть величиной положительной.

Получим

-Ωdy = μω dt,

откуда

dt= - .

Интегрируя полученное выражение, найдем время истечения

t = ,

или, вынося постоянные величины за знак интеграла,

t = -

t =

Итак, время понижения уровня от H₁ до H₂

t =

Время полного опорожнения, т. е. если H_{2 =} 0 равно

t =.

17.2.2. ИСТЕЧЕНИЕ ПРИ ПЕРЕМЕННОМ НАПОРЕ В СООБЩАЮЩИХСЯ СОСУДАХ

Рассмотрим два сообщающихся резервуара, соединенных между собой трубой. Площади поперечных сечений резервуаров постоянны. Площадь первого равна Ω₁, второго – Ω₂. Жидкость из первого резервуара по короткой трубе площадью поперечного сечения ω перетекает во второй, при этом уровень жидкости в одном резервуаре понижается, а в другом – увеличивается (рис. 17.2.2.1)

рис. 17.2.2.1

За время t уровни в обоих резервуарах сравниваются и переток жидкости прекращается.

Обозначим напоры в начальный момент времени над центром отверстия трубы в резервуарах через z₁ и z₂, разность напоров z₁ - z₂ = H.

За время dt при перетоке жидкости из резервуара в резервуар уровень уменьшится на величину dz₁, в другом отверстии увеличится на dz₂.

Изменение напора за dt составит

dH = dz₁ - dz₂.

Объём жидкости в первом резервуаре уменьшится на Ω₁ dz₁, во втором – увеличится на Ω₂ dz₂.

Следовательно, можно записать

- Ω₁ dz₁ = Ω₂ dz₂.

Откуда

dz₂ = - dz₁.

Подставив dz₂ в выражение dH, получим

dH = dz₁ + dz₁ = dz₁.

Или

dz₁ = dH.

За время dt при напоре H произойдет приток жидкости объёмом dW во второй резервуар. Этот объём

dW = μ_тωdt.

Уменьшение объём dW = - Ω₁ dz₁.

Следовательно,

μ_тωdt = - Ω₁ dz₁.

Тогда

dt = - dz₁.

Если

dz₁ = dH,

то

dt = .

Интегрируем полученное уравнение в пределах от H₁ до H₂ и выносим постоянные за знак интеграла

t = - dH =

=dH.

Откуда время t, в течение которого разность уровней изменится от H₁ до H₂,

t = - ).

Полное выравнивание уровней жидкости в резервуаре произойдет, когда H₂ = 0.

Время, когда уровни сравняются, вычисляется по формуле

t = .