Весна 16 курс 3 ОрТОР / Гидравлика / lektsia__8

8. МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ.

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПОТОКА ЖИДКОСТИ.

8.1. МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

Гидродинамика - это раздел гидравлики, в котором изучаются общие законы движения реальной жидкости и ее взаимодействие с твердыми стенками.

При этом приходится сталкиваться с двумя задачами:

• внешней, где заданы гидродинамические характеристики потока жидкости, требуется найти силы, приложенные к телу, обтекаемому жидкостью;

• внутренней, где заданы силы, действующие на жидкость, требуется найти гидродинамические характеристики потока.

Гидродинамическими характеристиками потока являются гидродинамическое давление , под которым понимают внутреннее давление, развивающееся при движении жидкости, и скорость  движения жидкости в данной точке, то есть скорость перемещения в пространстве частицы жидкости, находящей в данной точке. Скорость определяется длиной пути, пройденного частицей жидкости в единицу времени.

Благодаря текучести жидкой среды отсутствуют жесткие связи между ее отдельными частицами, и общий характер движения оказывается более сложным, чем характер движения твердого тела.

Изучение движения представляет значительные сложности в силу того, частицы обладают большой подвижностью и, в общем случае, в различных точках пространства и в различные моменты времени имеют различные скорости по величине и направлению.

При исследовании движения жидкости применяют два основных метода: Лагранжа и Эйлера.

При исследовании по методу Лагранжа рассматривается движение отдельных частиц вдоль их траекторий. Для этого замечают координаты  в начальный момент времени. Все последующие координаты точки  и составляющие скорости  будут зависеть от начальных координат, называемых переменными Лагранжа:

где  - переменные Лагранжа.

Если параметры  зафиксированы, то приведенное выражение устанавливает кинематические характеристики конкретной жидкой частицы, аналогично тому, как определяют соответствие характеристик материальной точки.

При изменении  осуществляется переход от одной жидкой частицы к другой и таким образом можно охарактеризовать движение всей конечной массы жидкости.

Метод Эйлера состоит в определении скорости и давления жидкости в той или иной точке неподвижного пространства, т.е. изучаются поля скоростей и давлений в некоторые последующие моменты времени. Таким образом, движение описывается уравнениями:

Величины x, y, z имеют в методах Лагранжа и Эйлера различный смысл. По Лагранжу эти величины представляют переменные координаты одной и той же частицы движущейся жидкости. По Эйлеру - это постоянные координаты одних и тех же точек пространства, через которые в разные моменты времени проходят различные частицы жидкости.

В гидравлике обычно применяется метод Эйлера, т.к. он относительно более прост, чем метод Лагранжа (решение уравнений по Лагранжу сложны и трудноразрешимы).

8. 2. УРАВНЕНИЕ ПОСТОЯНСТВА РАСХОДА.

Рассмотрим установившееся движение жидкости в русле переменного сечения (рис. 8.2.1.)

Рис. 8.2.1.

Рассмотрим установившееся движение жидкости в жестком рус-

ле переменного сечения (рис. 8. 2.1.). Выберем два произвольных сече-

ния I-I и II-II , нормальных к оси потока, и рассмотрим заключенный

между ними участок потока. Через сечение I-I за время t пройдет

жидкость в количестве m_1, , а через сечение II-II – в количестве m₂

Выразим массы m₁ и m₂ через объемные расходы Q₁ и Q₂ жидкости в сечениях I-I и II-II:

m₁ = ρ₁ · Q₁ ·t и m₂ = ρ₂ · Q₂ ·t

где ρ₁ и ρ₂ – плотность жидкости в сечениях I-I и II-II

Очевидно, что m₁ = m₂ = const и соответственно

ρ₁ · Q₁ = ρ₂ · Q₂

Так как жидкость несжимаема, то

ρ₁ = ρ₂ = const

Следовательно

Q₁ = Q₂ = const

Это уравнение называют уравнением постоянства расхода .

Из него следует, что при установившемся движении несжимаемой жид-

кости расход ее постоянен в любом сечении потока.

8.3. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ ПОТОКА.

Из уравнения неразрывности расхода Q₁= Q₂ = const получается другое важное уравнение движения жидкости.

Так как расход записывается в виде Q =υ·ω, то уравнение постоянства расхода можно записать следующим образом.

V₁·ω_{1 =} V₂·ω_{2 =} Q= const

Это и есть уравнение неразрывности (сплошности) для потока, который формулируется так: при установившемся движении несжимаемой жидкости произведение средней скорости на площадь живого сечения потока является величиной постоянной. Из уравнения неразрывности потока для двух сечений можно написать:

.

Из этого уравнения следует, что средняя скорость обратно пропорциональна площади соответствующих живых сечений.

8. 3. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ.

Условие неразрывности можно выразить в дифференциальной форме. Рассмотрим неподвижный объем в форме бесконечно малого параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz и найдем массу входящей и выходящей жидкости

( 1.). Рис. 8.4.1.

рис. 8.4.1.

За малый промежуток времени dt через левую грань заходит объем жидкости:

dVл=Uxdtdydz,    (dydz-площадь)

входящая масса:                ,

(несжимаемая жидкость)

Объем выходящей жидкости через правую грань за время dt:

Изменение массы жидкости в объеме параллелепипеда за счет входа и выхода жидкости через левую и правую грани:

Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости в дифференциальной форме:

В случае изменении плотности жидкости меняется масса в замкнутом объёме, т. е. внутри параллелепипеда. Изменение плотности можно выразить через дифференциал:

dρ = ∂ρ∕∂t ·dt

В результате масса рассматриваемого параллелепипеда за время dt:

dm_{ρ =} ∂ρ∕∂t ·dt · dx dy · dz.

∂ρ∕∂t +