6. Силы давления жидкости на твердые поверхности.

6. 1.Сила гидростатического давления

НА ПЛОСКУЮ СТЕНКУ

На рис. 6.1.1. изображена плоская поверхность, наклоненная к горизонту под углом α. Фигура площадью ω находится на этой поверхности и на неё действует гидростатическое давление.

p₀ в

0

α

h_d h_с h а y

y Dωd dω

с с y_с x

ω d d d y_d

Рис. 6.1.1.

Вычислим силу гидростатического давления со стороны жидкости на плоскую площадку площадью ω с учетом того, что на свободную поверхность действует давление p_о.

Из точки 0 проводим ось x, нормальную к плоскости, где находится рассматриваемая фигура. Ось y направим по плоской поверхности до пересечения в точке 0 со свободной поверхностью жидкости. Повернем на плоскую поверхность относительно оси Оy. Намеченная фигура будет представлена без искажения в плоскости yОx.

Выделим бесконечно малую площадку dω на площади плоской фигуры. Площадка dω погуружена в жидкость на глубину h. Координаты площадки от оси Оx будет равна y.

Гидростатическое давление в области бесконечно малой площадки согласно основному уравнению гидростатики

p = p_о + ρgh.

Элементарная сила давления dϜ, приложенная к площадке

dϜ = pdω = (p_о +ρgh)dω.

Из треугольника Оab находим, что h = y, тогда

dϜ = p_оdω +ρgydω.

Для определения силы гидростатического давления на плоскую фигуру интегрируем последнее выражение по площади ω

Ϝ = p_о + ρg

Или так как p_о = const

Ϝ = p_о ω+ρg

Интеграл представляет собой статический момент площади плоской фигуры.

Статический момент площади относительно оси 0x

ωy_с,

Где y_с - расстояние центра тяжести фигуры до оси 0x

y_с = .

Следовательно, сила гидростатического давления

Ϝ = p_о ω + ρg =p_оω + ρgωh_с = (p_о + ρgh_с)ω,

где h_с – глубина погружения центра тяжести плоской фигуры; (p_о + ρgh) = p_с - гидростатическое давление в центре тяжести фигуры.

Окончательно получим

Ϝ = p_с ω.

Следовательно, сила давления на плоскую фигуру, погруженную в жидкость, равна произведению площади фигуры на величину гидростатического давления в центре её тяжести. Когда на свободную поверхность жидкости действует атмосферное давление, то сила абсолютного давления Ϝ = (p_{а +}ρgh_с), а сила избыточного давления

Ϝ = ρgωh_с.

Точка d пересечения силы давления Ϝ с плоскостью, в которой находится плоская фигура площадью ω, называется центром давления. Давление от жидкости, находящейся на разной высоте h, распределяется неравномерно по всей площади фигуры. Давление возрастает с увеличением глубины, поэтому центр давления силы Ϝ будет находиться ниже центра тяжести фигуры (см. рис. 6.1.1).

Для определения центра давления применим уравнение моментов. момент равнодействующей силы давления относительно выбранной оси равен сумме моментов составлящих этой силы. Равнодействующая сила при условии, что p_о = p_а

Ϝ = ρgωh_с = ρgωy_{с .}

Элементарная составляющая сила на площадку dω

dϜ = ρgy dω.

Момент равнодействующей силы

М = Ϝy_d = ρgy_с y_d,

где y_d – расстояние от точки 0 до центра давления, где приложена сила гидростатического давления.

Элементарный момент силы

dМ == dϜy ρgdω.

Так как М = М_с напишем

pgωy_с y_d = ρgdω,

где dω = J_Ox – момент инерции площади плоской фигуры относительно оси Оx.

Момент инерции фигуры J_Ox можно выразить как

J_Ox = J_O + ω,

Где J_o – момент инерции фигуры относительно центра тяжести.

Подставляя J_Ox в уравнение и преобразуя его, получаем координату y_d

y_d = = y_с +.

Обозначим =, тогда

y_d = y_с +.