Числовые сравнения №2
.docП3. Классы вычетов.
Отношение сравнения по модулю m является отношением эквивалентности на множестве Z. Как любое отношение эквивалентности, оно разбивает множество на классы непересекающихся подмножеств так, что каждое целое число принадлежит ровно одному из этих классов.
Пример. Отношение сравнения по модулю 5 разбивает Z на пять классов:
В каждом классе собраны попарно сравнимые по модулю 5 целые числа.
Определение. Классом вычетов по модулю m называется множество чисел, сравнимых между собой по модулю m. Любой элемент из этого множества называется вычетом.
Обозначение: — класс вычетов, содержащий элемент а.
Пример. Для классов вычетов по модулю 5:
Отношение сравнения транзитивно, поэтому определение класса можно записать:
Если же вспомнить о равносильных определениях сравнимости (Теорема 1 п.1), то класс вычетов можно определить иначе: или и а имеют одинаковые остатки от деления на m}.
Геометрический смысл класса вычетов:
Пусть на окружности длины m отмечены m точек. Будем наматывать на окружность бесконечную нить координатной прямой. Тогда в фиксированной точке а окружности будут скапливаться числа, сравнимые с а, т.е. образующие класс .
Теорема 1. Классы вычетов и состоят из одних и тех же элементов числа a и b сравнимы по модулю m: .
Доказательство. Пусть (mod m). Тогда, в силу транзитивности отношения сравнения .
Значит, , т.е. .
Обратное утверждение очевидно. Если , то числа a и b находятся в одном классе и, следовательно, .
■
Следствие 1. Если два класса вычетов имеют хотя бы один общий элемент, то они совпадают. (иначе говоря: любые два класса вычетов либо не пересекаются, либо полностью совпадают).
Доказательство. Пусть и . Тогда и . Отсюда следует, что и, значит, .
■
Следствие 2. Пусть — некоторый класс вычетов по модулю m. Пусть r — остаток от деления a на m. Тогда .
Доказательство. По условию , где . Тогда и, следовательно, .
■
Следствие 2 позволяет выбирать более удобные обозначения для классов вычетов. Например, класс по модулю 5 проще обозначить как класс .
Как правило, в качестве представителя данного класса вычетов выбирают либо наименьший неотрицательный элемент, либо элемент с наименьшей абсолютной величиной. Например, класс вычетов по модулю 5 обозначают либо , либо .
Теорема 2. Существует ровно m различных классов вычетов по модулю m.
Доказательство. При делении a на m возможны остатки . Поэтому любой класс совпадает с одним из m классов .
Осталось проверить, что все эти классы попарно различны, но это следует из того, что никакие два остатка из списка не сравнимы по модулю m.
П4. Полная и приведенная системы вычетов.
Пусть — множество всех классов вычетов по модулю m. Выберем из каждого класса вычетов по одному представителю: .
■
Определение. Множество называется полной системой вычетов по модулю m.
Пример. Множество является полной системой вычетов по модулю 4. Действительно, по модулю 4 существует всего 4 класса вычетов: . При этом , т.е. в данной системе из четырех чисел каждый класс представлен одним своим вычетом.
Чаще всего, в качестве полной системы вычетов выбирают или .
Иногда в каждом классе вычетов удобно выбирать наименьшие по абсолютной величине представители. Например,
— полная система вычетов по модулю 5;
— полная система вычетов по модулю 6.
Любые два числа, входящие в ПСВ, принадлежат разным классам и, следовательно, несравнимы между собой. Верно и обратное утверждение.
Теорема 1. (Признак полной системы вычетов).
Любые m чисел, попарно несравнимые между собой по модулю m образуют ПСВ по модулю m.
Доказательство. Пусть m чисел таковы, что любые два числа и несравнимы, т.е. принадлежат разным классам вычетов по модулю m. Количество чисел равно количеству классов, значит каждый класс имеет своего представителя в данном списке множество чисел есть ПСВ по модулю m.
■
Теорема 2. Пусть , b— произвольное целое число. Тогда если — ПСВ по модулю m. — также ПСВ по модулю m.
Доказательство. Покажем, что все m чисел принадлежат разным классам вычетов, т.е. не сравнимы друг с другом.
Предположим (от противного), что при ; .
Тогда и, поскольку a и m взаимно простые, по свойству 6 сравнений , что противоречит тому, что — ПСВ.
Итак, числа попарно несравнимы и, значит (по теореме 1) образуют ПСВ.
■
Пример 1. Пусть {1, 2, 3, 4}— ПСВ по модулю 5. Линейная функция y=3x+4 преобразуйте её в систему {4, 7, 10, 13, 16}. Легко проверить, что полученные числа принадлежат разным классам: , т.е. снова образуем полную систему вычетов.
Пример 2. Покажем, что условие взаимной простоты a и m существенно. Пусть {0, 1, 2, 3} — ПСВ по модулю 4. Возьмем a=2 (так, что a и m не будет взаимно просты) и запишем значения линейной функции y=2x+1 от данных чисел. Получим числа {1, 3, 5, 7}, которые не образуют ПСВ, т.к. и .
Пусть — некоторый класс вычетов. Свойство 10 сравнений (n, 1) утверждает, что для всех величина НОД (x, m) будет неизменной. В частности, если a и m взаимно просты, то все элементы x из классов будут взаимно просты с m.
Определение. Класс вычетов называется взаимно простым с модулем m, если НОД (a, m)=1.
Ясно, что количество классов, взаимно простых с m, равно количеству чисел из ПСВ , взаимно простых с m, т.е. совпадает со значением функции Эйлера .
Выберем из каждого взаимно простого с m класса вычетов по одному представителю. Получим систему изчисел, которая будет подмножеством ПСВ.
Определение. Приведенная система вычетов по модулю m называется множеством чисел, выбранных по одному из каждого класса вычетов, взаимно простых с m.
Пример. Приведенные системы вычетов:
По модулю 20 — {1, 3, 7, 9, 13, 17,19}
По модулю 5 — {1, 2, 3, 4}
По модулю 6 — {1, 5}
Замечание. Чтобы построить приведенную систему вычетов, нужно из полной системы удалить все вычеты, не взаимно простые с m. Например, есть m — простое число, то приведенная система вычетов получится из полной удалением одного числа, кратного m.
Теорема 3. (Признак приведенной системы вычетов)
Любой чисел, попарно несравнимые между собой по модулю m и взаимно простые с m, образуют приведенную систему вычетов по модулю m.
Доказательство. Пусть чисел таковы, что любые два числа и несравнимы по модулю m и взаимно просты с m. Тогда эти числа принадлежат разным классам вычетов и эти классы взаимно просты с m. Но количество таких классов равно из каждого класса в данном списке выбрано ровно по одному представителю. Это значит, что — приведенная система вычетов.
■
Теорема 4. Пусть НОД(a, m)=1. Тогда если — приведенная система вычетов по модулю m, то — также приведенная система вычетов по модулю m.
Доказательство. Действительно, числа и несравнимы при (иначе бы получили противоречие как в доказательстве теоремы 2). Нужно лишь проверить, что все числа взаимно просты с m. Но это следует из того, что и НОД(a, m)=1 по свойству 5 взаимно простых чисел.
П5. Теорема Эйлера и Ферма.
Пусть a — произвольное целое число. Рассмотрим последовательность степеней:
В арифметике по модулю m есть только m несравнимых между собой чисел, поэтому в какой–то момент значения степеней начнут повторяться:
, где .
Предложили, что a и m взаимно просты. Тогда сравнение можно сократить на . Получим: , где .
Итак, некоторая K–я степень любого целого a, взаимно простого с модулем m, сравнима с единицей. Остается выяснить, каким образом показатель K зависит от модулю m. Первым исследовал этот вопрос П. Ферма, изучавший в 1640 г. случай простого модуля.
Малая теорема Ферма.
Пусть p — простое число, НОД(a; p)=1.
Тогда .
Обобщение этой теоремы на случай, когда модуль m является составным, получил в 1760 г. Л. Эйлер.
Теорема Эйлера.
Пусть — функция Эйлера.
Тогда .
Очевидно, малая теорема Ферма является частным случаем теоремы Эйлера, т.к. если m=p — простое число, то . Поэтому из двух теорем достаточно доказать только теорему Эйлера.
Доказательство. Пусть — приведенная система вычетов по модулю m. Тогда числа тоже образуют приведенную систему вычетов. Следовательно каждое из сравнимо ровно с одним из исходных чисел : , где это те же самые числа , просто взятые в другом порядке. Перемножая все сравнений получим: , и поскольку все взаимно просты с m, произведения можно сократить, после чего остается сравнение .
■
Пример 1. Пусть a = 3, m = 4. Тогда и .
Пример 2. Пусть a = 2, p = 7. Тогда.
Малую теорему Ферма можно записать в другой форме, не требующей условия взаимной простоты a и p.
Следствие. Пусть p — простое число, a — произвольное целое число. Тогда .
Доказательство. Если НОД (a, p) = 1, то по малой теореме Ферма . Умножая обе части сравнения на a, получим требуемое. Пусть . Тогда .
■
Приведем другое доказательство малой теоремы Ферма. Оно принадлежит Лейбницу и является, по–видимому, самым ранним из известных доказательств этой теоремы. (Сам Ферма не опубликовал свое доказательство, поэтому оно не сохранилось).
Доказательство. В форме бинома Ньютона.
, все биномиальные коэффициенты делятся на p. Действительно, в равенстве правая часть делится на p, а в левой части факториалы K! и (p – K)! на p не делится.
Отсюда следует, что .
Аналогичное сравнение верно и для большего числа слагаемых. Например, .
Пусть . Тогда .
Если в левой части сложить a единиц, то получим: .
Если теперь добавить условие взаимной простоты a и p, то получим: .
■
Рассмотрим несколько Примеров применения теоремы Ферма и Эйлера.
Пример 3. Найти остаток от деления на 7.
Решение. Пусть p = 7. Тогда по малой теореме Ферма . Отсюда следует, что и Искомый остаток равен 4.
Пример 4. Найти остаток от деления на 34.
Решение. Пусть m = 34. Имеем сравнение , значит .
Положим a = 5, НОД (a, m) = 1, вычислим и воспользуемся теоремой Эйлера: .
Отсюда следует, что .
Искомый остаток равен 13.
Замечание 1. Утверждение, обратное к малой теореме Ферма, неверно, т.е. справедливость сравнения не означает, что m — простое число.
Например, , но — составное число.
Определение. Составное число m называется псевдопростым по основанию a, если .
Число 91 является псевдопростым по основанию 3. Но, например, по основанию 2 оно уже не будет псевдопростым, т.к. .
Замечание 2. Если , то число m— составное.
Интересно, что с помощью этого утверждения, равносильного малой теореме Ферма, можно доказать, что пятое число Ферма: не будет простым.
Для доказательства нужно положить , выбрать a = 3 взаимно простое с m, и 32 раза возвести a в квадрат. В последовательности: все числа заменяем остатками по модулю m. В итого получим , т.е. — составное число.
Заметим также, что таким методом можно доказать, что число m составное, но нельзя указать явно делитель m.
Замечание 3. Из справедливости сравнения не следует, что K = p – 1.
В отдельных случаях такой вывод может оказаться верным.
Например, если p = 5, a = 2, то .
В этом примере наименьший показатель K, при котором , действительно равен p – 1. Но уже для простого числа p = 7 получим: так, что K = 3 < p – 1.
Наименьший показатель K, при котором называется показателем числа a по модулю p.