14 Прямое и обратное преобразования лапласа – команды laplace, ilaplace
Преобразование Лапласа любой комплексной функции f(t) действительной переменной t имеет вид
L(s) = f(t)e-stdt.
Функцию f(t) принято называть оригиналом, а функцию L(s) – изображением. Функция f(t) должна удовлетворять следующим условиям:
а) f(t) является непрерывной функцией для всех значений t, принадлежащих области определения. (Допускается наличие разрывов первого рода в конечном числе точек, расположенных на интервалах конечной длины. Количество таких интервалов должно быть конечным числом);
б) f(t) = 0 при t < 0;
в) существуют числа M > 0 и p ≥ 0 такие, что для всех t │f(t)│ < Mept (p называется показателем роста │f(t)│).
Некоторые простейшие преобразования Лапласа приведены в таблице 7.1.
Таблица 1 − Некоторые преобразования Лапласа
|
f(t) |
L(s) = f(t)e-stdt.
|
|
1 |
s-1 |
|
e-at |
(s+a)-1 |
|
sinat |
a(s2+a2)-1 |
|
tn |
n!s-n-1 |
|
e-atcoswt |
|
|
tne-at |
|
В MATLAB преобразование Лапласа функции f(t) осуществляется с помощью команды laplace(F,t,s).
Найдем с помощью этой команды изображения заданных в таблице 1 оригиналов f(t):
>> syms a t w s
>> n=sym('n','positive');
>> laplace(1,t,s)
ans =
1/s
>> laplace(exp(-a*t),t,s)
ans =
1/(s+a)
>> laplace(sin(a*t),t,s)
ans =
a/(s^2+a^2)
>> laplace(t^n,t,s)
ans =
s^(-n-1)*gamma(n+1)
>> laplace(exp(-a*t)*cos(w*t),t,s)
ans =
(s+a)/((s+a)^2+w^2)
>> laplace(t^n*exp(-a*t),t,s)
ans =
gamma(n+1)*(s+a)^(-n-1)
Полученные изображения совпадают с табличными, если учесть, что
gamma(n+1) = n! для целых n (см. раздел 10).
Пример:
Найти изображение функции f(t) = e-2tsin2tcos3t.
Решение:
>> syms t s
>> laplace(exp(-2*t)*sin(2*t)*cos(3*t),t,s)
ans =
5/2/((s+2)^2+25)-1/2/((s+2)^2+1)
>> pretty(ans)
1 1
5/2 ------------- - 1/2 ------------
2 2
(s + 2) + 25 (s + 2) + 1
>> factor(ans)
ans =
2*(s^2+4*s-1)/(s^2+4*s+29)/(s^2+4*s+5)
>> pretty(ans)
2
s + 4 s - 1
2 ------------------------------
2 2
(s + 4 s + 29) (s + 4 s + 5)
Итак,
L(s) = 2.
Пример:
Найти изображение функции f(t) = .
Решение:
При обращении к laplace команда возвращается без результата:
>> laplace(1/t,t,s)
ans =
laplace(1/t,t,s)
Это означает что либо изображения не существует, либо системе MATLAB не удалось его найти.
Существуют различные модификации laplace (справку можно получить с помощью команды doc laplace).
Обратное преобразование Лапласа имеет вид
f(t) = L(s)estds.
В среде MATLAB обратное преобразование Лапласа функции L(s) можно получить с помощью команды ilaplace(L,s,t). Найдем с ее помощью оригиналы заданных в таблице 1 изображений L(s):
>> syms a t w s
>> n=sym('n','positive');
>> ilaplace(1/s,s,t)
ans =
1
>> ilaplace(1/(s+a),s,t)
ans =
exp(-a*t)
>> ilaplace(a/(s^2+a^2),s,t)
ans =
a/(a^2)^(1/2)*sin((a^2)^(1/2)*t)
>> ilaplace(s^(-n-1)*gamma(n+1),s,t)
ans =
t^n
>> ilaplace((s+a)/((s+a)^2+w^2),s,t)
ans =
exp(-a*t)*cos(w*t)
>> ilaplace(gamma(n+1)*(s+a)^(-n-1),s,t)
ans =
exp(-a*t)*t^n
Полученные оригиналы совпадают с табличными.
Пример:
Найти оригинал полученного ранее изображения
2
функции f(t) = e-2tsin2tcos3t.
Решение:
>> syms t s
>> ilaplace(2*(s^2+4*s-1)/(s^2+4*s+29)/(s^2+4*s+5),s,t)
ans =
1/2*exp(-2*t)*sin(5*t)-1/2*exp(-2*t)*sin(t)
>> factor(ans)
ans =
1/2*exp(-2*t)*(sin(5*t)-sin(t))
Поскольку (sin5t - sint) = sin2tcos3t, то оригинал найден верно.
Пример:
Найти оригинал изображения
L(s) = .
Решение:
Команда ilaplace возвращает решение, выраженное через функцию Хевисайда:
>> syms t s a
>> ilaplace(exp(-2*s)/(s+a),s,t)
ans =
Heaviside(t-2)*exp(-a*(t-2))
Функция Хевисайда (единичная функция) определяется следующим образом:
δ0(t)=
Следовательно, найденный оригинал имеет вид
f(t)=
Пример:
Найти оригинал изображения
L(s) = .
Решение:
Команда ilaplace возвращает решение, выраженное через корни уравнения z4+1 = 0:
>> syms t s
>> ilaplace((s^4-1)/(s^5+s),s,t)
ans =
-1+2*sum(1/4*exp(_alpha*t),_alpha = RootOf(_Z^4+1))
Команда vpa вычисляет приближенное значение оригинала с заданным количеством текущих цифр:
>> vpa(ans,4)
ans =
-1.+1.000*exp(-.7071*t)*cos(.7071*t)+1.000*exp(.7071*t)*cos(.7071*t)
Пример:
Найти оригинал изображения
L(s) = .
Решение:
Команда ilaplace возвращается без результата:
>> syms t s
>> ilaplace(exp(2*s)/(s+3)^2,s,t)
ans =
ilaplace(exp(2*s)/(s+3)^2,s,t)
Это означает что либо оригинала не существует, либо системе MATLAB не удалось его найти.
Существуют и другие модификации ilaplace (справку можно получить, введя команду doc ilaplace).