Плоские электромагнитные волны. Основные определения
При исследовании
процесса излучения электромагнитной
энергии было установлено, что в области,
достаточно удаленной от вибратора
,
поле имеет волновой характер.
Так как эквифазные поверхности представляли собой сферы, то волны назывались сферическими . Если радиус сферы R достаточно велик, небольшую часть сферической поверхности можно считать плоской и волну в этой области рассматривать как плоскую.
Плоской электромагнитной волной называется волна, у которой поверхность равных фаз представляет собой плоскость.
Плоская волна называется однородной, если векторы поля Е и Н при соответствующем выборе направления осей координат зависят от одной пространственной координаты и времени.
Следовательно, во всех точках эквифазной плоскости в один и тот же момент величина вектора Е (вектора Н) одинакова.
Если зависимость векторов поля от времени синусоидальная или косинусоидальная, то волна называется монохроматической или гармонической.
Если плоская волна линейно поляризована, то направления векторов Е (и перпендикулярных к ним векторов Н) во всем пространстве параллельны друг другу.
Рассмотрим однородную линейно поляризованную плоскую монохроматическую электромагнитную волну. Вектор Е может иметь три взаимно перпендикулярные проекции, например, в декартовой системе координат:
Так как волна линейно поляризована, то фазы всех трех проекций должны быть одинаковы ψ1 = ψ2 = ψ3 = ψ, а отношение амплитуд является постоянным числом:
Тогда направление вектора Е во всех точках поля одно и то же, углы, которые образует вектор Е с осями координат, постоянны, что видно из выражений
причем
В частном случае, если направление вектора параллельно одной из координатных осей, вектор имеет только одну проекцию. Аналогичные соотношения получатся и для вектора Н.
Уравнение плоской волны
Рассмотрим распространение плоской волны в однородной среде. Расположим координатные оси таким образом, чтобы один из векторов поля, например вектор Е, имел одну проекцию Ех. Пусть Ех зависит только от одной пространственной координаты z и от времени t, причем зависимость от времени синусоидальная. Параметры среды ε, μ и γ постоянные.
Запишем второе уравнение Максвелла в комплексной форме в декартовой системе координат, причем будем считать, что в поле нет свободных зарядов:
В рассматриваемом случае у вектора Н только одна проекция Ну отлична от нуля. Комплексная амплитуда ее равна:
Так как комплексная амплитуда зависит только от одного переменного, то вместо частных производных можно записать обычные производные:
Первое уравнение
Максвелла
примет вид:
Подставив значение
и отбросив индексы у проекции векторов,
получим уравнение
Назовем коэффициентом распространения комплексное число
Введя величину Г в уравнение, получаем:
Решение уравнения имеет следующий вид:
Перейдя к мгновенным
значениям и положив
,
,
получим:
Первая составляющая напряженности электрического поля Епад называется прямой или падающей волной. Она распространяется в сторону возрастающих z. Вторая Eотр, распространяющаяся в сторону убывающих z, называется обратной или отраженной волной. Мгновенное значение Е равно сумме ординат прямой и обратной волн.
Напряженность магнитного поля
Комплексную величину
называют волновым сопротивлением.
Введя эту величину в формулу, получаем:
Переходя к мгновенным значениям, будем иметь:
Мгновенное значение напряженности магнитного поля равно разности ординат падающей и отраженной волн. Полученные выражения представляют собой уравнения плоских электромагнитных волн.
Мгновенное значение вектора Пойнтинга
.