- •Кафедра электротехники и электрических машин Лекция № 34 по дисциплине «Теоретические основы электротехники»
- •13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника»
- •1.Уравнения максвелла в комплексной форме записи
- •Теорема единственности решения уравнений максвелла
- •Запаздывающие или обобщенные электродинамические потенциалы
- •2. Наклонное падение плоской волны
- •Излучение электромагнитных волн
- •Плоские электромагнитные волны. Основные определения
- •Уравнение плоской волны
- •Исследование волн
- •Распромтанение плоской волны.
- •Распространение плоской волны в хорошо проводящей среде
- •Поляризация электромагнитных волн
- •3. Явление поверхностного эффекта
- •Поверхностный эффект в цилиндрическом проводнике
- •Активное сопротивление и внутренняя индуктивность цилиндрического провода с учетом поверхностного эффекта
- •Теорема умова — пойнтинга
Теорема единственности решения уравнений максвелла
Покажем, что если при решении уравнений Максвелла для определенных начальных и граничных условий получены значения векторов поля Е и Н, то это решение единственное.
Предположим, что электромагнитное поле исследуется в определенной области пространства V, которая ограничена замкнутой поверхностью S. Параметры ε, µ и γ постоянны. Начальные и граничные условия заданы следующим образом. В момент t = 0 значения векторов Е и Н заданы во всех точках области V. На поверхности S известны касательные составляющие одного из векторов поля (предположим, Е) для всех моментов времени от 0 до t. Тогда уравнения Максвелла однозначно определяют векторы Е и Н в любой точке области V и в любой момент t.
Предположим противное, т. е. что существует другое решение уравнений Максвелла, причем значения векторов поля E1 и Н1 удовлетворяют перечисленным выше начальным и граничным условиям. Рассмотрим два новых вектора Е2 = Е -El , Н2 = Н –Н1. Очевидно, что Е2 и Н2 также являются решением уравнений Максвелла, но начальные и граничные условия для них будут несколько иными. При t = 0 во всех точках области V, E2 и Н2 должны равняться нулю, так как в этот момент Е = Е1 и Н = Н1. На поверхности S во все моменты времени от 0 до t касательная составляющая вектора Е2 также должна быть равна нулю. Следовательно, вектор Е2 может иметь на поверхности S только нормальную составляющую.
Применим к полю векторов Е2 и Н2 теорему Умова-Пойнтинга
На поверхности S произведение
[Е2Н2] dS = 0,
так как в любой точке граничной поверхности S направление Е2 совпадает с нормалью. Теорема Умова — Пойнтинга примет вид:
Первое слагаемое этого выражения, равное мощности тепловых потерь, может быть только величиной положительной или равной нулю. Тогда должна быть или отрицательной величиной (еслиубывает), или равной нулю (если= const). Согласно начальным условиям в момент t = 0 во всех точках рассматриваемой области векторы поля равны нулю Е2 =0, Н2 = 0; следовательно, и
Энергия не может принимать отрицательных значений, поэтому она должна оставаться равной нулю. Следовательно, векторы Е2 и Н2 равны нулю в любой момент t и в любой точке области V. Это значит, что Е –E1 =0, Н - Ht = 0, т. е. Е1 = Е и Н1 = Н и, следовательно, второе решение совпадает с первым.
Запаздывающие или обобщенные электродинамические потенциалы
Для определения векторов Е и Н по заданныv и р необходимо решить полную систему уравнений Мaксвелла
Будем считать, что параметры среды ε, µ, γ постоянны и заданы. Искомые векторы Е и Н и заданные величины и р зависят от трех пространственных координат и времени.
Непосредственное решение уравнений Максвелла обычно связано с большими трудностями. Задачу можно упростить, если ввести вспомогательные функции φ и А пространственных координат и времени. Их называют обобщенными электродинамическими потенциалами.
Зависимости между Е и Н, а также между А и φ устанавливаются таким образом, чтобы основные уравнения поля приняли наиболее удобный для решения вид.
Положим
rot А = µаН = В,
что возможно, так как В соленоидальный вектор:
div В = 0.
Для однозначного определения вектора А надо задать еще и его дивергенцию, но подберем ее позже так, чтобы упростить полученные выражения.
Вектор А будем называть обобщенным векторным потенциалом.
Выразим напряженность магнитного поля через векторный потенциал
Н = rot А.
Подставим значение Н во второе уравнение Максвелла
Заменив последовательность дифференцирования и сократив на,
получим:
Следовательно, вектор потенциальный и можно
найти такую скалярную функцию φ, для которой он служит градиентом:
Величину φ назовем обобщенным скалярным потенциалом. Мы связали уравнениями
векторы поля Е и Н с обобщенными потенциалами А и φ.
Для определения А и φ используем остальные уравнения электромагнитного поля.
Первое уравнение Максвелла можно записать следующим образом:
или
Обозначим Отметим, что величинаимеет размерность скорости. Развернем выражение ротора от ротора:
или
Можно выбрать div А так, чтобы уравнение упростилось, положив
Тогда векторный потенциал определяется из уравнения
Если записать это векторное уравнение в прямоугольной декартовой системе координат, то, считая, что
Получим три принципа Даламбера :
Если в уравнение div Е = подставить значение Е, то получим:
или, так как div grad φ =, то
Подставив выражение div А, получим:
Для определения скалярного потенциала также надо решить уравнение Даламбера.
Введя обобщенные потенциалы А и φ, мы свели уравнения Максвелла к четырем однотипным уравнениям Даламбера и этим значительно упростили задачу расчета электромагнитного поля.
Решения уравнений Даламбера можно записать в виде интегралов
Чтобы найти скалярный потенциал в точке N в момент t , надо разбить объем V на элементы dV, определить величину заряда в этом элементарном объеме в момент(где R — расстояние от элемента объема dV до точки N, a— скорость распространения электромагнитной энергии в диэлектрике с проницаемостью εа и μa). Разделив этот заряд на 4πεаR и проинтегрировав по всем элементарным объемам в которых имеется заряд с плотностью ρ, мы получим скалярный потенциал в данной точке в момент t.
Аналогично определяются и проекции векторного потенциала. Важно отметить, что изменения свободных объемных зарядов и токов проводимости сказываются в различных точках поля не мгновенно, а спустя некоторое время R/υ, необходимое для того, чтобы электромагнитная волна прошла расстояние R. Поэтому потенциалы А и φ называются запаздывающими.
Для вакуума υ равно скорости света
В диэлектрике с проницаемостью ε при μ=1 величина скорости распространения электромагнитной энергии
Так как величина υ большая, то запаздывание скажется только при достаточно большом удалении точки от места расположения зарядов и токов и тем сильнее, чем больше это удаление.
В областях поля, не имеющих объемных зарядов и токов проводимости, уравнения, определяющие обобщенные потенциалы, примут вид:
Эти соотношения называются волновыми уравнениями.
При решении уравнений Даламбера и волновых уравнений должны быть учтены для каждой конкретной задачи начальные и граничные условия. Если область V, в которой исследуется поле, состоит из нескольких однородных сред, то на границах этих сред должны соблюдаться следующие соотношения:
В этих соотношениях:
σ — поверхностная плотность свободных зарядов на границе двух сред; η — плотность поверхностного тока на граничной поверхности.