Теорема единственности решения уравнений максвелла

Покажем, что если при решении уравнений Максвелла для определенных начальных и граничных условий получены значения векторов поля Е и Н, то это решение единственное.

Предположим, что электромагнитное поле исследуется в определенной области пространства V, которая ограничена замкнутой поверхностью S. Параметры ε, µ и γ постоянны. Начальные и граничные условия заданы следующим образом. В момент t = 0 значения векторов Е и Н заданы во всех точках области V. На поверхности S известны касательные составляющие одного из векторов поля (предположим, Е) для всех моментов времени от 0 до t. Тогда уравнения Максвелла однозначно определяют векторы Е и Н в любой точке области V и в любой момент t.

Предположим противное, т. е. что существует другое решение уравнений Максвелла, причем значения векторов поля E1 и Н1 удовлетворяют перечисленным выше начальным и граничным условиям. Рассмотрим два новых вектора Е2 = Е -El , Н2 = Н –Н1. Очевидно, что Е2 и Н2 также являются решением уравнений Максвелла, но начальные и граничные условия для них будут несколько иными. При t = 0 во всех точках области V, E2 и Н2 должны равняться нулю, так как в этот момент Е = Е1 и Н = Н1. На поверхности S во все моменты времени от 0 до t касательная составляющая вектора Е2 также должна быть равна нулю. Следовательно, вектор Е2 может иметь на поверхности S только нормальную составляющую.

Применим к полю векторов Е2 и Н2 теорему Умова-Пойнтинга

На поверхности S произведение

[Е2Н2] dS = 0,

так как в любой точке граничной поверхности S направление Е2 совпадает с нормалью. Теорема Умова — Пойнтинга примет вид:

Первое слагаемое этого выражения, равное мощности тепловых потерь, может быть только величиной положительной или равной нулю. Тогда должна быть или отрицательной величиной (еслиубывает), или равной нулю (если= const). Согласно начальным условиям в момент t = 0 во всех точках рассматриваемой области векторы поля равны нулю Е2 =0, Н2 = 0; следовательно, и

Энергия не может принимать отрицательных значений, поэтому она должна оставаться равной нулю. Следовательно, векторы Е2 и Н2 равны нулю в любой момент t и в любой точке области V. Это значит, что Е –E1 =0, Н - Ht = 0, т. е. Е1 = Е и Н1 = Н и, следовательно, второе решение совпадает с первым.

Запаздывающие или обобщенные электродинамические потенциалы

Для определения векторов Е и Н по заданныv и р необходимо решить полную систему уравнений Мaксвелла

Будем считать, что параметры среды ε, µ, γ постоянны и заданы. Искомые векторы Е и Н и заданные величины и р зависят от трех пространственных координат и времени.

Непосредственное решение уравнений Максвелла обычно связано с большими трудностями. Задачу можно упростить, если ввести вспомогательные функции φ и А пространственных координат и времени. Их называют обобщенными электродинамическими потенциалами.

Зависимости между Е и Н, а также между А и φ устанавливаются таким образом, чтобы основные уравнения поля приняли наиболее удобный для решения вид.

Положим

rot А = µаН = В,

что возможно, так как В соленоидальный вектор:

div В = 0.

Для однозначного определения вектора А надо задать еще и его дивергенцию, но подберем ее позже так, чтобы упростить полученные выражения.

Вектор А будем называть обобщенным векторным потенциалом.

Выразим напряженность магнитного поля через векторный потенциал

Н = rot А.

Подставим значение Н во второе уравнение Максвелла

Заменив последовательность дифференцирования и сократив на,

получим:

Следовательно, вектор потенциальный и можно

найти такую скалярную функцию φ, для которой он служит градиентом:

Величину φ назовем обобщенным скалярным потенциалом. Мы связали уравнениями

векторы поля Е и Н с обобщенными потенциалами А и φ.

Для определения А и φ используем остальные уравнения электромагнитного поля.

Первое уравнение Максвелла можно записать следующим образом:

или

Обозначим Отметим, что величинаимеет размерность скорости. Развернем выражение ротора от ротора:

или

Можно выбрать div А так, чтобы уравнение упростилось, положив

Тогда векторный потенциал определяется из уравнения

Если записать это векторное уравнение в прямоугольной декартовой системе координат, то, считая, что

Получим три принципа Даламбера :

Если в уравнение div Е = подставить значение Е, то получим:

или, так как div grad φ =, то

Подставив выражение div А, получим:

Для определения скалярного потенциала также надо решить уравнение Даламбера.

Введя обобщенные потенциалы А и φ, мы свели уравнения Максвелла к четырем однотипным уравнениям Даламбера и этим значительно упростили задачу расчета электромагнитного поля.

Решения уравнений Даламбера можно записать в виде интегралов

Чтобы найти скалярный потенциал в точке N в момент t , надо разбить объем V на элементы dV, определить величину заряда в этом элементарном объеме в момент(где R — расстояние от элемента объема dV до точки N, a— скорость распространения электромагнитной энергии в диэлектрике с проницаемостью εа и μa). Разделив этот заряд на 4πεаR и проинтегрировав по всем элементарным объемам в которых имеется заряд с плотностью ρ, мы получим скалярный потенциал в данной точке в момент t.

Аналогично определяются и проекции векторного потенциала. Важно отметить, что изменения свободных объемных зарядов и токов проводимости сказываются в различных точках поля не мгновенно, а спустя некоторое время R/υ, необходимое для того, чтобы электромагнитная волна прошла расстояние R. Поэтому потенциалы А и φ называются запаздывающими.

Для вакуума υ равно скорости света

В диэлектрике с проницаемостью ε при μ=1 величина скорости распространения электромагнитной энергии

Так как величина υ большая, то запаздывание скажется только при достаточно большом удалении точки от места расположения зарядов и токов и тем сильнее, чем больше это удаление.

В областях поля, не имеющих объемных зарядов и токов проводимости, уравнения, определяющие обобщенные потенциалы, примут вид:

Эти соотношения называются волновыми уравнениями.

При решении уравнений Даламбера и волновых уравнений должны быть учтены для каждой конкретной задачи начальные и граничные условия. Если область V, в которой исследуется поле, состоит из нескольких однородных сред, то на границах этих сред должны соблюдаться следующие соотношения:

В этих соотношениях:

σ — поверхностная плотность свободных зарядов на границе двух сред; η — плотность поверхностного тока на граничной поверхности.