ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Лекция 4
Абсолютно твердое тело в процессе движения не деформируется, т.е. расстояние между его любыми двумя элементами со временем не меняется.
Вращающий момент (или момент силы)
•Пусть на тело, в плоскости
перпендикулярной оси вращения 
, действует сила 
. Разложим эту силу на две составляющие:
(нормальную) и (тангенциальную).
• Сила |
пересекает ось вращения и, |
|
следовательно, не влияет на вращение |
||
тела. Под действием составляющей |
||
тело будет совершать вращательное |
||
движение вокруг оси |
. |
|
• Расстояние r от оси вращения до линии вдоль которой действует сила называется плечом силы .
• Моментом силы относительно точки О называется произведение модуля силы на
плечо r M = r
С учетом того, что
• Момент силы
•С точки зрения векторной алгебры это выражение представляет векторное произведение радиуса-вектора r, проведенного в точку приложения силы
•на эту силу 
•Таким образом, момент силы относительно точки О является векторной величиной и равен
•Вектор момента силы направлен перпендикулярно к плоскости,
проведенной через векторы 
и 
, и образует с ними правую тройку векторов (при наблюдении из вершины
вектора М видно, что вращение по кратчайшему расстоянию от 
к 
происходит против часовой стрелки).
Момент инерции относительно неподвижной точки вращения
•Согласно второму закону Ньютона, для тангенциальной составляющей силы 
, действующей на материальную точку массой m, и ускорения 
•можем записать
• С учетом того, что |
и |
• Имеем
• Умножим правую и левую часть на |
получим |
• или
• Произведение массы материальной точки тела |
на квадрат ее |
|
расстояния |
до оси вращения называется моментом инерции |
|
материальной точки относительно оси вращения: |
|
|
Момент инерции твердого тела
•Чтобы найти момент инерции тела, надо просуммировать момент инерции всех материальных точек, составляющих данное тело
•В общем случае, если тело сплошное, оно представляет собой совокупность множества точек с бесконечно малыми массами , и моменты инерции тела определяется интегралом
• где r - расстояние от элемента |
до оси вращения. |
• Распределение массы в пределах тела можно охарактеризовать с помощью плотности 
•где m - масса однородного тела, V - его объем.
•Для тела с неравномерно распределенной массой это выражение дает среднюю плотность
• Плотность в данной точке в этом случае определяется следующим образом
• и тогда |
(1) |
Пределы интегрирования зависят от формы и размеров тела.
Интегрирование уравнения (1) наиболее просто осуществить для тех случаев, когда ось вращения проходит через центр тяжести тела