Скачиваний:
2
Добавлен:
22.06.2018
Размер:
35.41 Кб
Скачать
  1. Алгебра высказываний; пропозициональные связки и формы, истинностные таблицы.

Под высказыванием мы понимаем повествовательное предложение, которому мы можем приписать истинностное значение «истина» или «ложь». «Истина» обозначается цифрой 1, а «ложь» цифрой 0. Сами высказывания обозначаются заглавными латинскими буквами.

Для отражения и формализации связок между высказываниями на мат. уровне вводятся операции над высказываниями. Определить каждую операцию – значит приписать истинностное значение результату операции в зависимости от истинностных значений ее аргументов. Для этого удобны истинностные таблицы.

Операции:

  1. Отрицание ⌐А (или Ā) высказывания А. («не А»)

  1. Конъюнкция АꓥВ (А&В или А*В) высказываний А и В. («и А, и В»)

  1. Дизъюнкция АꓦВ высказываний А и В. («А или В»)

  1. Импликация А→И высказываний А и В. («если А, то В»)

  1. Эквивалентность А≡В высказываний А и В. («А тогда и только тогда, когда В»)

Символы ⌐, ꓥ, ꓦ, →, ≡ называются пропозициональными (или логическими) связками. Осмысленные формулы, составленные из высказываний (пропозициональных букв), пропозициональных связок, а также скобок называются пропозициональными формами (ПФ). Обозначаются ПФ рукописными латинскими буками.

Пример.

B =

Если в какой-то части ПФ пропущены скобки, то операции выполняются в следующем порядке: ⌐, ꓥ, ꓦ, →, ≡

Используя истинностные таблицы для пропозициональных связок, можно получить истинностную таблицу для произвольной ПФ.

Пример.

  1. Алгебра высказываний; тавтологии и противоречия

Если ПФ принимает значение 1 на любом истинностном наборе, то эта ПФ называется тавтологией. Если же ПФ принимает значение 0 на любом истинностном наборе, то эта ПФ называется противоречием. Если ПФ не является противоречием, то называется выполнимой. Из тавтологий получаются высказывания, истинные по форме, а из противоречий ложные по форме (но не по содержанию).

Примеры тавтологий: Аꓦ⌐А (закон исключенного третьего), А≡⌐⌐А (закон двойного отрицания), А→АꓦВ, АꓥВ→А, А→В≡⌐АꓦВ

Примеры противоречий: Аꓥ⌐А, А≡⌐А, Аꓥ⌐(АꓦВ)

  • Если B – тавтология, то ⌐B – противоречие и наоборот.

  • Если A и A→ B – тавтологии, то B - тавтология

  • Если A→B и A→⌐B - тавтологии, то A – противоречие

  • Если в тавтологию вместо пропозициональных букв подставить произвольные ПФ, то снова получится тавтология

Соседние файлы в папке Вопросы_по_мат_логике_3_сем_экз_Дьячков