Скачиваний:
2
Добавлен:
22.06.2018
Размер:
22.19 Кб
Скачать

9). Формальная аксиоматическая теория, формализация понятий теоремы и её доказательства.

В формальной аксиоматической теории (ФАТ) выводом или доказательством формулы A называется конечная цепочка формул, каждая из которых есть либо аксиома, либо непосредственное следствие каких-либо из предыдущих формул по одному из правил вывода, причем последняя формула этой цепочки - это и есть формула A. Если для формулы A существует вывод, то говорят, что она является теоремой ФАТ, и пишут так:

  • Пусть и – два множества формул, причем . Тогда если , то .

  • Пусть и – два множества формул, причем каждая из формул является следствием множества формул . Тогда если , то .

  • Следствие множества теорем само является теоремой.

10). Формальная аксиоматическая теория, теорема дедукции, правило силлогизма и перестановки посылок.

(A B) ((B C) (AC)) - правило силлогизма (ПС)

(A(BC))(B(AC)) - правило перестановки посылок (ПП)

Теорема дедукции: Если Г,АВ, то ГАВ.

Доказательство. Пусть последовательность формул B1, B2, …, есть вывод B из Г,A. В ней = B. Индукцией по i покажем, что ГA для каждого i = 1, …, m. При i = m будем иметь утверждение теоремы. Сначала заметим, что, по определению вывода, для каждой формулы при i{1, …, m} возможны следующие случаи: 1) =A, 2) – аксиома, 3) Г. В случае 1), ввиду AA (пример 1), имеем A и, следовательно, ГA. В случаях 2) и 3) выводом A из Г служит последовательность , (A), A, в которой первая формула является аксиомой или принадлежит Г, вторая формула есть аксиома 1 и третья получена из них по правилу отделения.

1.  A(BA)

В качестве единственного правила вывода в ИВ мы принимаем правило modus ponens, или правило отделения,по которому, каковы бы ни были формулы A и B, из формул и AB получается формула B. При ≤ 2 других случаев нет, и база индукции установлена. При i > 2 возможен еще один случай: 4) Bi получена из Bj и Bk для некоторых j<i по правилу отделения, B= (BjBi) и, по предположению индукции, ГABj и ГABk, т.е. ГA(BjBi). В этом случае вывод ABi из Г строится так: из Г выводится ABj, берется аксиома 2 в виде (ABj)((A(BjBi))(ABi)) и по правилу отделения

2. (AB)((A(BC))(AC))

В качестве единственного правила вывода в ИВ мы принимаем правило modus ponens, или правило отделения,по которому, каковы бы ни были формулы A и B, из формул и AB получается формула B. Получается формула (A(BjBi))(ABi), из Г выводится A(BjBi) и из последних двух формул по правилу отделения получается требуемая формула ABi.

Соседние файлы в папке Вопросы_по_мат_логике_3_сем_экз_Дьячков