![](/user_photo/25411_G4aoA.jpg)
Вопросы_по_мат_логике_3_сем_экз_Дьячков / Mat_Logika_9_10
.docx9). Формальная аксиоматическая теория, формализация понятий теоремы и её доказательства.
В
формальной аксиоматической теории
(ФАТ) выводом или доказательством формулы
A называется конечная цепочка формул,
каждая из которых есть либо аксиома,
либо непосредственное следствие
каких-либо из предыдущих формул по
одному из правил вывода, причем последняя
формула этой цепочки - это и есть формула
A. Если для формулы A существует вывод,
то говорят, что она является теоремой
ФАТ, и пишут так:
-
Пусть
и
– два множества формул, причем
≤
. Тогда если
, то
.
-
Пусть
и
– два множества формул, причем каждая из формул
является следствием множества формул
. Тогда если
, то
.
-
Следствие множества теорем само является теоремой.
10). Формальная аксиоматическая теория, теорема дедукции, правило силлогизма и перестановки посылок.
(A
B)
((B
C)
(A
C))
- правило силлогизма (ПС)
(A(B
C))
(B
(A
C))
- правило
перестановки посылок (ПП)
Теорема
дедукции:
Если Г,АВ,
то Г
А
В.
Доказательство.
Пусть последовательность формул B1, B2,
…,
есть вывод B из Г,A. В ней
= B. Индукцией по i покажем, что Г
A
для каждого i = 1, …, m. При i = m будем иметь
утверждение теоремы. Сначала заметим,
что, по определению вывода, для каждой
формулы
при i
{1,
…, m} возможны следующие случаи: 1)
=A, 2)
– аксиома, 3)
Г.
В случае 1), ввиду
A
A
(пример 1), имеем
A
и, следовательно, Г
A
.
В случаях 2) и 3) выводом A
из Г служит последовательность
,
(A
),
A
,
в которой первая формула является
аксиомой или принадлежит Г, вторая
формула есть аксиома 1 и третья получена
из них по правилу отделения.
1.
A(B
A)
В
качестве единственного правила
вывода в
ИВ мы принимаем правило modus ponens, или правило
отделения,по
которому, каковы бы ни были формулы A и B,
из формул A и A
B
получается формула B.
При i ≤
2 других случаев нет, и база индукции
установлена. При i >
2 возможен еще один случай: 4) Bi получена
из Bj и Bk для
некоторых j, k <i по
правилу отделения, Bk =
(Bj
Bi)
и, по предположению индукции, Г
A
Bj и Г
A
Bk,
т.е. Г
A
(Bj
Bi).
В этом случае вывод A
Bi из Г строится
так: из Г выводится A
Bj,
берется аксиома 2 в виде
(A
Bj)
((A
(Bj
Bi))
(A
Bi))
и по правилу отделения
2.
(AB)
((A
(B
C))
(A
C))
В
качестве единственного правила
вывода в
ИВ мы принимаем правило modus ponens, или правило
отделения,по
которому, каковы бы ни были формулы A и B,
из формул A и A
B
получается формула B.
Получается формула (A
(Bj
Bi))
(A
Bi),
из Г выводится A
(Bj
Bi)
и из последних двух формул по правилу
отделения получается требуемая
формула A
Bi.