Вопросы_по_мат_логике_3_сем_экз_Дьячков / Mat_Logika_9_10

9). Формальная аксиоматическая теория, формализация понятий теоремы и её доказательства.

В формальной аксиоматической теории (ФАТ) выводом или доказательством формулы A называется конечная цепочка формул, каждая из которых есть либо аксиома, либо непосредственное следствие каких-либо из предыдущих формул по одному из правил вывода, причем последняя формула этой цепочки - это и есть формула A. Если для формулы A существует вывод, то говорят, что она является теоремой ФАТ, и пишут так:

• Пусть и – два множества формул, причем ≤ . Тогда если , то .

• Пусть и – два множества формул, причем каждая из формул является следствием множества формул . Тогда если , то .

• Следствие множества теорем само является теоремой.

10). Формальная аксиоматическая теория, теорема дедукции, правило силлогизма и перестановки посылок.

(A B) ((B C) (AC)) - правило силлогизма (ПС)

(A(BC))(B(AC)) - правило перестановки посылок (ПП)

Теорема дедукции: Если Г,АВ, то ГАВ.

Доказательство. Пусть последовательность формул B1, B2, …, есть вывод B из Г,A. В ней = B. Индукцией по i покажем, что ГA для каждого i = 1, …, m. При i = m будем иметь утверждение теоремы. Сначала заметим, что, по определению вывода, для каждой формулы при i{1, …, m} возможны следующие случаи: 1) =A, 2) – аксиома, 3) Г. В случае 1), ввиду AA (пример 1), имеем A и, следовательно, ГA. В случаях 2) и 3) выводом A из Г служит последовательность , (A), A, в которой первая формула является аксиомой или принадлежит Г, вторая формула есть аксиома 1 и третья получена из них по правилу отделения.

1.  A(BA)

В качестве единственного правила вывода в ИВ мы принимаем правило modus ponens, или правило отделения,по которому, каковы бы ни были формулы A и B, из формул A и AB получается формула B. При i ≤ 2 других случаев нет, и база индукции установлена. При i > 2 возможен еще один случай: 4) B_i получена из B_j и B_k для некоторых j, k <i по правилу отделения, B_k = (B_jB_i) и, по предположению индукции, ГAB_j и ГAB_k, т.е. ГA(B_jB_i). В этом случае вывод AB_i из Г строится так: из Г выводится AB_j, берется аксиома 2 в виде (AB_j)((A(B_jB_i))(AB_i)) и по правилу отделения

2. (AB)((A(BC))(AC))

В качестве единственного правила вывода в ИВ мы принимаем правило modus ponens, или правило отделения,по которому, каковы бы ни были формулы A и B, из формул A и AB получается формула B. Получается формула (A(B_jB_i))(AB_i), из Г выводится A(B_jB_i) и из последних двух формул по правилу отделения получается требуемая формула AB_i.