4.3 Решение двойственным симплекс-методом.

Двойственный симплекс-метод можно применять при решении задачи линейного программирования, свободные члены системы уравнений которой могут быть любыми числами. В обычном симплексном алгоритме план всегда должен быть допустимым. Допустимый план — это такой план, который удовлетворяет всем ограничениям задачи при обязательном условии не отрицательности неизвестных, то есть любые числа в итоговом столбце положительны. План называется недопустимым (или условно-оптимальным), если в итоговом столбце имеются отрицательные числа, зато оценки целевой строки соответствуют целевой функции, то есть являются положительными при решении на максимум и отрицательными при решении на минимум. В процессе решения двойственным методом план является недопустимым. При использовании двойственного метода сначала применяют обычную симплекс-процедуру и добиваются того, чтобы все оценки соответствовали цели решения задачи, причем пока не обращают внимания на знаки чисел в итоговом столбце. Только когда такой условно-допустимый план достигнут, смотрят на эти знаки. Если в итоговом столбце оказались отрицательные числа, план изменяется так, чтобы недопустимость уменьшилась, а затем и исчезла, но чтобы двойственные оценки продолжали соответствовать при этом цели решения задачи. Возможность придавать в процессе решения отрицательные значения неизвестным, входящим в план, в случае, если ограничения заданы неравенствами, позволяет избавиться от искусственных неизвестных, это сокращает размеры задачи, а значит, и вычислений [6].

Для удобного представление решения используется программа для работы с электронными таблицами MS Excel.

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

Определим минимальное значение целевой функции

при следующих условиях-ограничений:

Введем искусственные переменные x: в 1-м равенстве вводим переменную x₄; в 2-м равенстве вводим переменную x₅;

Для постановки задачи на минимум целевую функцию запишем так:

За использование искусственных переменных, вводимых в целевую функцию, накладывается так называемый штраф величиной М, очень большое положительное число, которое обычно не задается.

Полученный базис называется искусственным, а метод решения называется методом искусственного базиса.

Причем искусственные переменные не имеют отношения к содержанию поставленной задачи, однако они позволяют построить стартовую точку, а процесс оптимизации вынуждает эти переменные принимать нулевые значения и обеспечить допустимость оптимального решения.

Из уравнений выражаем искусственные переменные:

которые подставим в целевую функцию:

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x₄, x₅

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: X₁ = (0,0,0,30,6)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Проводим итерацию №0 для проверки критерия оптимальности.

Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.

Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₃, так как это наибольший коэффициент.

Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i3

и из них выберем наименьшее:

min (30 : 6 , 6 : 1 ) = 5

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (6) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки (Таблица 6).

Таблица 6 – Симплекс-таблица с выделенным разрешающим элементом

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5
x4	30	5	4	6	1	0
x5	6	1	1	1	0	1
F(X1)	36M	-3+6M	-4+5M	-2+7M	0	0

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₄ в план 1 войдет переменная x₃.

Строка, соответствующая переменной x₃ в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x₄ плана 0 на разрешающий элемент 6

На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x₃ плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x₃ и столбец x₃.

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент.

Проводим пересчет симплекс-таблицу по разрешающему элементу (Таблица 7).

Таблица 7 ­– Симплекс-таблица после совершения итерации №0

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5
x3	5	5/6	2/3	1	1/6	0
x5	1	1/6	1/3	0	-1/6	1
F(X1)	10+M	-11/3+M	-22/3+M	0	1/3-11/6M	0

Проводим итерацию №1 для проверки критерия оптимальности.

Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.

Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₂, так как это наибольший коэффициент.

Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i2

и из них выберем наименьшее:

min (5 : ²/₃ , 1 : ¹/₃ ) = 3

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (¹/₃) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки. (Таблица 8)

Таблица 8 ­– Симплекс-таблица с выделенным разрешающим элементом

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5
x3	5	5/6	2/3	1	1/6	0
x5	1	1/6	1/3	0	-1/6	1
F(X2)	10+M	-11/3+M	-22/3+M	0	1/3-11/6M	0

Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₅ в план 2 войдет переменная x₂.

Строка, соответствующая переменной x₂ в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x₅ плана 1 на разрешающий элемент ¹/₃

На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1.

В остальных клетках столбца x₂ плана 2 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x₂ и столбец x₂.

Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Получаем новую симплекс-таблицу:

Таблица 9 ­– Симплекс-таблица после совершения итерации №1

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5
x3	3	1/2	0	1	1/2	-2
x2	3	1/2	1	0	-1/2	3
F(X2)	18	0	0	0	-1-M	8-M

Проверка критерия оптимальности.

Среди значений индексной строки нет положительных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Таблица 10 – Окончательный вариант симплекс-таблицы

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5
x3	3	1/2	0	1	1/2	-2
x2	3	1/2	1	0	-1/2	3
F(X2)	18	0	0	0	-1-M	8-M

Так как в оптимальном решении отсутствуют искусственные переменные (они равны нулю), то данное решение является допустимым.

Оптимальный план можно записать так:

Заключение

Целью курсовой работы была проверка и применение теоретических знаний полученных за курс по дисциплине «Методы оптимизации». Объектом исследования была задача «О распределении» с необходимостью найти оптимальный план распределения, при ограниченных средствах и времени. Были применены основные методы для решения поставленной задачи, такие как: симплекс-метод, метод Гомори и двойственный симплекс-метод. Для удобного представление решения используется программа для работы с электронными таблицами MS Excel. Был построен оптимальный план.

Библиографический список

1. Теория принятия решений: задачи нелинейной оптимизации: учеб. пособие / А. В. Зыкина ; ОмГТУ. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2008. - 59 с;

2. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации; Покорный Ю.В. Оптимальные задачи ­­– М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. – 368 с; 3. Азарнова Т.В., Каширина И.Л., Чернышова Г.Д. Методы оптимизации: Учебное пособие. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 2003. - 87 с;

4. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. Пер. с англ — М.: Мир, 1985. – 320 с; 5. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация: теория, вычисления и приложения — М.: Радио и связь, 1992. — 504 с;

6. Азарнова Т.В., Каширина И.Л., Чернышова Г.Д. Методы оптимизации: Учебное пособие. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 2003. - 87 с.

21