Контрольная работа №4 Неопределенные и определенные интегралы

171 – 180. Закон движения точки на прямой задан функцией S(t). Найти скорость V(t) и ускорение a(t) и их наибольшие абсолютные значения на отрезке [ 0 ; T ].

171. , Т=3.

173. , Т=1.

175. , Т=5.

177. , Т=3.

179. , Т=2.

172. , Т=3.

174. , Т=1.

176. , Т=4.

178. , Т=3.

180. , Т=2.

181 – 190. Найти неопределённые интегралы.

181. а) ,

в) ,

д) ,

б) ,

г) ,

е) .

182. а) ,

в) ,

д) ,

б) ,

г) ,

е) .

183. а) ,

в) ,

д) ,

б) ,

г) ,

е) .

184. а) ,

в) ,

д) ,

б) ,

г) ,

е) .

185. а) ,

в) ,

д) ,

б) ,

г) ,

е) .

186. а) ,

в) ,

д) ,

б) ,

г) ,

е) .

187. а) ,

в) ,

д) ,

б) ,

г) ,

е) .

188. а) ,

в) ,

д) ,

б) ,

г) ,

е) .

189. а) ,

в) ,

б) ,

г) ,

д) ,

е) .

190. а) ,

в) ,

д) ,

б) ,

г) ,

е) .

191 – 200. Вычислить определённый интеграл.

191. .

193. .

195. .

197. .

199. .

192. .

194. .

196. .

198. .

200. .

201 – 210.

201. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и полукубической параболой.

202. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой .

203. Вычислить площадь фигуры, ограниченной трёхлепестковой розой .

204. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осьюОх.

205. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями ,.

206. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Оy астроиды ,.

207. Вычислить длину дуги кривой ,между точками её пересечения с осями координат.

208. Вычислить длину дуги одной арки циклоиды ,.

209. Вычислить длину дуги полукубической параболы между точками пересечения с осьюОу.

210. Вычислить длину кардиоиды ,.

211 – 220. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

211. .

213. .

215. .

217. .

219. .

212. .

214. .

216. .

218. .

220. .

Методические указания к выполнению контрольных работ Контрольная работа №1

Запишем формулы для вычисления определителей второго и третьего порядка:

,

Примеры. .

.

1. Некоторые формулы векторной алгебры (110)

1) Если ,, то

.

2) Если , тои

.

3) Скалярным произведением векторов иназывается число, равное произведению модулей этих векторов и косинуса угламежду этими векторами:

.

Если известны координаты векторов

, ,

то

,

угол между векторами определяется формулой

.

4) Векторным произведением векторов иназывается вектор, перпендикулярный векторами, модуль которого равен площади параллелограмма, построенного на векторахи, и направленный так, что из его конца кратчайший поворот от векторак векторунаблюдается происходящим против часовой стрелки.

Рис. 1

Если известны координаты векторов и

, ,

то векторное произведение выражается через определитель третьего порядка:

.

Площади параллелограмма и треугольника, построенных на векторах и:

, .

5) Смешанным произведением векторов ,,называется число

.

Если известны координаты векторов

, ,,

то .

Смешанное произведение, взятое по абсолютной величине, равно объему параллелепипеда, построенного на векторах ,,. Объем пирамиды, построенной на этих векторах, составляет шестую часть объема параллелепипеда.