- •Рецензент
- •Программа по высшей математике для фзво (1, 2 семестры)
- •8. Неопределенный и определенный интегралы
- •Контрольная работа №1 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Комплексные числа
- •Контрольная работа №3 Производная функции и её приложения
- •Контрольная работа №4 Неопределенные и определенные интегралы
- •Методические указания к выполнению контрольных работ Контрольная работа №1
- •1. Некоторые формулы векторной алгебры (110)
- •Vпараллелепипеда,
- •Vпирамиды.
- •2. Плоскость и прямая в пространстве (11-20)
- •3. Прямая на плоскости (21-30)
- •4. Кривые второго порядка (31-40)
- •5. Уравнение кривой в полярных координатах (41-50)
- •6. Комплексные числа (51-60)
- •Контрольная работа №2
- •1. Решение системы линейных уравнений (61-70)
- •2. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования (71-80)
- •3. Вычисление предела функции (91-100)
- •4. Односторонние пределы функции (101-110)
- •Контрольная работа №3
- •Примеры на вычисление производной
- •Контрольная работа №4
- •Непосредственное интегрирование (181-190, а)
- •Интегрирование по частям (181-190, б)
- •Интегрирование подстановкой (181-190, д, е)
- •Интегрирование рациональных функций (181-190, г)
- •Алгоритм интегрирования рациональной функции:
- •Геометрические приложения определенного интеграла .
- •Библиографический список
- •Контрольные задания
Контрольная работа №4 Неопределенные и определенные интегралы
171 – 180. Закон движения точки на прямой задан функцией S(t). Найти скорость V(t) и ускорение a(t) и их наибольшие абсолютные значения на отрезке [ 0 ; T ].
171. , Т=3.
173. , Т=1.
175. , Т=5.
177. , Т=3.
179. , Т=2.
172. , Т=3.
174. , Т=1.
176. , Т=4.
178. , Т=3.
180. , Т=2.
181 – 190. Найти неопределённые интегралы.
181. а) ,
в) ,
д) ,
б) ,
г) ,
е) .
182. а) ,
в) ,
д) ,
б) ,
г) ,
е) .
183. а) ,
в) ,
д) ,
б) ,
г) ,
е) .
184. а) ,
в) ,
д) ,
б) ,
г) ,
е) .
185. а) ,
в) ,
д) ,
б) ,
г) ,
е) .
186. а) ,
в) ,
д) ,
б) ,
г) ,
е) .
187. а) ,
в) ,
д) ,
б) ,
г) ,
е) .
188. а) ,
в) ,
д) ,
б) ,
г) ,
е) .
189. а) ,
в) ,
б) ,
г) ,
д) ,
е) .
190. а) ,
в) ,
д) ,
б) ,
г) ,
е) .
191 – 200. Вычислить определённый интеграл.
191. .
193. .
195. .
197. .
199. .
192. .
194. .
196. .
198. .
200. .
201 – 210.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и полукубической параболой.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой .
Вычислить площадь фигуры, ограниченной трёхлепестковой розой .
Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осьюОх.
Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями ,.
Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Оy астроиды ,.
Вычислить длину дуги кривой ,между точками её пересечения с осями координат.
Вычислить длину дуги одной арки циклоиды ,.
Вычислить длину дуги полукубической параболы между точками пересечения с осьюОу.
Вычислить длину кардиоиды ,.
211 – 220. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
211. .
213. .
215. .
217. .
219. .
212. .
214. .
216. .
218. .
220. .
Методические указания к выполнению контрольных работ Контрольная работа №1
Запишем формулы для вычисления определителей второго и третьего порядка:
,
Примеры. .
.
1. Некоторые формулы векторной алгебры (110)
1) Если ,, то
.
2) Если , тои
.
3) Скалярным произведением векторов иназывается число, равное произведению модулей этих векторов и косинуса угламежду этими векторами:
.
Если известны координаты векторов
, ,
то
,
угол между векторами определяется формулой
.
4) Векторным произведением векторов иназывается вектор, перпендикулярный векторами, модуль которого равен площади параллелограмма, построенного на векторахи, и направленный так, что из его конца кратчайший поворот от векторак векторунаблюдается происходящим против часовой стрелки.
Рис. 1
Если известны координаты векторов и
, ,
то векторное произведение выражается через определитель третьего порядка:
.
Площади параллелограмма и треугольника, построенных на векторах и:
, .
5) Смешанным произведением векторов ,,называется число
.
Если известны координаты векторов
, ,,
то .
Смешанное произведение, взятое по абсолютной величине, равно объему параллелепипеда, построенного на векторах ,,. Объем пирамиды, построенной на этих векторах, составляет шестую часть объема параллелепипеда.