Лекция 7. Поле скоростей и ускорений сплошной среды

В пространстве, занимаемом сплошной средой, отдельные характеристики сплошной среды, векторные или скалярные, могут принимать различные значения в зависимости от положения в пространстве, т.е. от координат пространства. В частности, применительно к задачам гидрогазодинамики, движущаяся в пространстве жидкость создает скалярные поля удельной плотности (x,y,z), температуры Т(x,y,z), давления р(x,y,z), векторное поле скорости .

При движении твердого тела расстояния между фиксированными точками тела остаются неизменными. При движении жидкости и газа, как и любых деформируемых тел, в процессе движения меняется форма тел и расстояния между отдельными точками выделенного объема.

Существует два метода изучения движения жидкости. Один из них, называемый методом Лагранжа, изучает движение в пространстве каждой индивидуальной частицы. Второй метод, называемый методом Эйлера, изучает движение, происходящее в каждой точке пространства.

По методу Лагранжа в произвольный момент времени t = t₀ фиксируются координаты каждой частицы x₀, y₀, z₀. В любой другой момент времени t координаты рассматриваемой частицы будут x,y,z. Эти координаты будут не только функциями времени, но и тройки чисел x₀, y₀, z₀, обозначающих частицу. Следовательно, для составления картины течения необходимо знать функции

(7.1.)

Аргументы называются параметрами Лагранжа. Для полной характеристики состояния движущейся жидкости необходимо знать еще давление р, а для сжимаемой жидкости – еще плотность .

Проекции скорости на координатные оси определяются соотношениями

(7.2)

При использовании метода Эйлера все характеристики движения, в том числе проекции скоростей на координатные оси, плотность и давление, изучаются как функции координат и времени, т.е. от параметров x, y, z, t. Эти параметры называются переменными Эйлера. Скорости движения частиц жидкости определяются системой уравнений

(7.3)

Полная скорость жидкости равна

. (7.4)

Скорость движения является вектором, т.е. величиной, характеризующейся как величиной, так и направлением. Поэтому систему (4.36) можно заменить одним векторным уравнением

. (7.5)

Ускорение частицы определяется как производная скорости по времени, т.е. . Так как скорость жидкости в общем случае зависит от времени и координат, то по правилу дифференцирования сложной функции получим

. (7.6)

Но производные координат движущейся точки по времени есть соответствующие проекции скоростей

Тогда (7.6) принимает вид

. (7.7)

Первое слагаемое правой части равенства выражает изменение скорости во времени в некоторой фиксированной точке пространства, т.е. местное изменение, и поэтому называется локальной составляющей ускорения. Остальные три слагаемых в правой части характеризуют изменение скорости частицы при ее перемещении. Они называются конвективными составляющими ускорения.

В проекциях на координатные оси (7.7) будет иметь вид

(7.8)

Индивидуальная производная по времени может быть взята не только от скорости, но и от скалярных величин, таких, как температура, плотность, давление, концентрация и т.д. Например, для температуры производная по времени имеет вид

. (7.9)